Решение II

Поскольку в случае b) , где – собственная функция нужной задачи Штурма-Лиувилля, то мы будем искать решение в виде с неизвестной функцией . Условие (4.67) будет выполнено автоматически, а (4.66) и (4.68) дадут дифференциальное уравнение для :

(4.78)

и граничные условия для него:

, . (4.79)

Общее решение уравнения (4.78) имеет вид:

, (4.80)

находя из граничных условий (4.79) , , получим окончательно, что

(4.81)

будет решением задачи в случае b).

В случае с) решение следует искать в виде:

, (4.82)

где – собственные функции нужной задачи Штурма-Лиувилля, а – неизвестные функции.

Для этого представим правую часть в аналогичном виде:

. (4.83)

С учетом разложения в ряд Фурье получим:

Подставляя уравнения (4.82), (4.83) в задачу (4.66), (4.68) мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение:

(4.84)

и граничные условия для него:

, . (4.85)

Условие (4.67) автоматически выполняется.

Решая граничную задачу (4.84), (4.85), находим, что:

Поэтому решение задачи в случае с) есть:

.(4.86)

Можно было бы искать решение в виде (4.82), но с – собственными функциями нужной задачи Штурма-Лиувилля и неизвестными функциями .

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебник. 7-е изд. – М.: Изд-во МГУ, 2004. – 798 с.

2. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике: Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. – М.: Изд-во МГУ, 2004. – 416 с.

3. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. – М.: МЦНМО, 2001.

4. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. – М.: Физматлит 2003.

5. Владимиров В.С., Вашарин А.А. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Физматлит, 2001.

6. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2004. – 544 с.

7. Треногин В.А. Методы математической физики. – М.: РХД 2002.

8. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. – М.: Физматлит, 2003.

9. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГУ, 1998. – 350 с.

10. Шарма Дж., Сингх К. Уравнения в частных производных для инженеров. – М.: Техносфера, 2002.

11. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. - МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 368 с.

Приложение №1

Простейшие задачи Штурма – Лиувилля

№	Задача	Собственные значения	Собственные функции
	,	,
2а	,	,
2б	,
	,	,	,
	, или ,	,	, ,

Приложение №2

Общий вид ряда Фурье по собственным функциям

№	Вид разложения	Коэффициенты
	Синус-ряд Фурье
2а
2б
	Косинус-ряд Фурье	,
	Полный ряд Фурье	, ,