Уравнения плоскости в пространстве

1.1.1. Если плоскость П проходит через точку N (x ₀, y ₀, z ₀) перпендикулярно вектору =(A, B, C) (рис. 1.1), то общее уравнение плоскости П имеет вид

A (x - x ₀)+ B (y - y ₀)+ С (z - z ₀)=0. (1.1)

Как правило, общее уравнение (1.1) прямой приводят к виду

Ax + By + Сz + D =0, (1.2)

где D =- Ax ₀- By ₀- Сz ₀.

Вектор =(A, B, C) называется вектором нормали (или нормалью) плоскости П.

1.1.2. Если плоскость П проходит через точку N (x ₀, y ₀, z ₀) параллельно неколлинеарным векторам =(a_x, a_y, a_z), =(b_x, b_y, b_z) (рис.1.2), то параметрические уравнения плоскости П имеют вид

(1.3)

Векторы =(a_x, a_y, a_z) и =(b_x, b_y, b_z) называются направляющимивекторами плоскости П.

1.1.3. Уравнение плоскости можно записать и в явном виде z = ax + by + c, но в отличие от случая прямой оно не представляет особый интерес.

1.1.4. Кроме приведённых выше видов уравнений плоскости также рассматриваются другие виды:

=0, (1.4)

где (x ₀, y ₀, z ₀), =(a_x, a_y, a_z), =(b_x, b_y, b_z) - как в уравнениях (1.3);

уравнение плоскости, проходящей через три точкиN (x ₀, y ₀, z ₀), M (x ₁, y ₁, z ₁), L (x ₂, y ₂, z ₂):

=0, (1.5)

где точки N, M, L не лежат на одной прямой;

уравнение плоскости в отрезках: + + =1, (1.6)

при условии, что плоскость не параллельна ни одной из осей координат.

1.1.5. Замечания. 1) Как и в случае уравнений прямой, с помощью тождественных преобразований из одного вида уравнений можно прийти к другому.

2) В частных случаях, когда плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, общее уравнение (1.2) записывается в виде x = a (если плоскость параллельна плоскости Oyz), y = b (если плоскость параллельна плоскости Oxz) или z = c (если плоскость параллельна плоскости Oyz).

3) Уравнения (1.4) и (1.5), как правило, приводятся к общему виду. Для этого достаточно расписать определители в левых частях этих уравнений и привести подобные относительно x, y, z и свободных членов.

4) Геометрический смысл параметров a, b и с в уравнении (1.6) следующий: a, b и с - соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями соответственно Ox, Oy и Oz.

1.1.6. Упражнения. 1) Написать общее уравнение плоскости:

а) проходящей через точку N (3; -2; 4) перпендикулярно вектору =(4; -2, 8);

б) проходящей через точку N (2; 4; -3) перпендикулярно вектору =(3; 8; -4).

Решение. а) По формуле (1.1) имеем 4(x -3)-2(y +2)+2(z -4)=0. Преобразуем его к виду (1.2): 4 x -2 y +8 z -48=0. Это - общее уравнение плоскости. Его можно сократить на 2: 2 x - y +4 z -24=0.

2) Написать различные уравнения плоскости:

а) проходящей через точку N (4; 2; -3) параллельно векторам =(3; -1; 4), =(3; -4; 2);

б) проходящей через точки N (5; -8; 3) параллельно векторам =(2; 3; -1), =(4; 1; -2);

в) проходящей через точки N (2; -1; 3), M (3; -4; -2) и K (3; 2; 1);

г) проходящей через точки N (3; 2; -8), M (3; -5; 3) и K (2; 2; -3).

Решение. а) По формуле (1.3) имеем

Получили параметрические уравнения плоскости.

Далее, по формуле (1.4) имеем

=0.

Раскроем определитель в левой части и приведём подобные:

=5 x -15 y + z +32.

Таким образом, получаем общее уравнение плоскости: 5 x -15 y + z +32=0.

в) По формуле (1.5) имеем

=0 Û =0.

Осталось расписать определитель в правой части последнего уравнения и получить общее уравнение плоскости, что предоставляется читателю.

Напишем уравнение в параметрической форме. Для этого заметим, что векторы =(1; -3; -5) и =(1; 3; -2) являются направляющими для данной плоскости. Поэтому по (2.3) имеем