Взаимное расположение плоскостей

1.2.1. Пусть плоскости П ₁: A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁=0 и П ₂: A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂=0 заданы своими общими уравнениями. Тогда:

а) они параллельны тогда и только тогда, когда = = , при этом они совпадают тогда и только тогда, когда это отношение равно и не совпадают тогда и только тогда, когда это отношение не равно ;

б) они перпендикулярны тогда и только тогда, когда A ₁ A ₂+ B ₁ B ₂+ D ₁ D ₂=0.

1.2.2. Из 1.2.1 следует, что если выполнено хотя бы одно из условий ≠ , ≠ , ≠ , то плоскости П ₁ и П ₂ пересекаются по бесконечному множеству точек, которые образуют прямую.

1.2.3. Если плоскости П ₁ и П ₂ заданы своими общими уравнениями (см. 1.2.1), то угол между ними можно найти из соотношения

cos()= , (1.7)

где =(A ₁, B ₁, С ₁), =(A ₂, B ₂, С ₂).

1.2.4. Упражнение. Выяснить взаимное расположение плоскостей:

а) П ₁: 2 x -3 y +4 z +4=0; П ₂: 4 x -6 y +8 z +8=0; П ₃: 6 x -9 y +12 z +5=0;

П ₄: 5 x +2 y - z -5=0; П ₅: x +2 y -3 z +4=0;

б) П ₁: 4 x -3 y -5 z +2=0; П ₂: 3 x +4 y -8=0; П ₃: 2 x + y +8 z -2=0;

П ₄: 8 x +4 y +32 z +12=0; П ₅: 8 x +4 y +32 z -8=0.

В случае, когда плоскости ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними.

Решение. а) П ₁ и П ₂: = = = . Поэтому плоскости П ₁ и П ₂ совпадают.

П ₁ и П ₃: = = ≠ . Поэтому плоскости П ₁ и П ₃ параллельны, но не совпадают.

П ₁ и П ₄: 2×5+(-3)×2+4×(-1)=0. Поэтому плоскости П ₁ и П ₄ перпендикулярны.

П ₁ и П ₅: ≠ и 2×1+(-3)×2+4×(-3)≠0. Поэтому плосксти ни параллельны, ни перпендикулярны. Найдём угол между ними. Имеем (по формуле (1.7))

cos()=cos()= = »0,7941.

Тогда ()»arccos0,7941»0,65 (радиан).

Аналогично исследуется взаимное расположение пар плоскостей (П ₂, П ₃), (П ₂, П ₄), (П ₂, П ₅), (П ₃, П ₄), (П ₃, П ₅), (П ₄, П ₅) (довести до конца!).

Ответ: а) Плоскости П ₁ и П ₂ совпадают, П ₁ и П ₃ - параллельны и не совпадают, плоскости П ₁ и П ₄ перпендикулярны, угол между плоскостями П ₁ и П ₅ равен»1,05 радиан.