Векторное произведение векторов и его свойства

3.2.1. Векторным произведением векторов и называется вектор , обладающий следующими свойствами:

1) ^ , ^ ;

2) | |=| |×| |×sin();

3) тройка (, , ) - правая.

Векторное произведение векторов и обозначается через [ , ] и ´ .

3.2.2. Свойство 3) определения векторного произведения векторов и выражает его геометрический смысл: Геометрический смысл векторного произведения заключается в том, что длина векторного произведения равна площади параллелограмма, натянутого на сомножители (рис.3.2).

При этом и коллинеарны, тогда и только тогда, когда [ , ]= .

3.1.3. Теорема. Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1^о. Для любых векторов и имеет место равенство

[ , ]=-[ , ].

2^о. Для любого числа a и любых векторов и имеют место равенства

[ a , ]= a [ , ],

[ , a ]= a [ , ].

3^о. Для любых векторов , и имеют место равенства

[ + , ]=[ , ]+[ , ],

[ , + ]=[ , ]+[ , ].

4^о. Если =(a_x, a_y, a_z), =(b_x, b_y, b_z), то

[ , ]= , - , (3.4)

или, в виде разложения в системе орт

[ , ]= - + (3.5)

3.2.4. Свойства 2^о и 3^о обобщаются на любое число слагаемых в любом из сомножителей:

[ a ₁ + a ₂ +…+ a_k , ]= a ₁[ , ]+ a ₂[ , ]+…+ a_k [ , ],

[ , b ₁ + b ₂ +…+ b_k [= b ₁[ , ]+ b ₂[ , ]+…+ b_k [ , ]

Аналогичное обобщение имеет место на любое число слагаемых в обоих сомножителях. Например,

[ a + b , g + d + e ]=

= ag [ , ]+ bg [ , ]+ ad [ , ]+ bd [ , ]+ ae [ , ]+ be [ , ].

3.2.5. Равенство (3.5) формально записывается в виде

[ , ]= (3.6)

Формула (3.6) позволяет легко восстановить формулу (3.5) (при условии знания определителя 3-го порядка или его разложения по первой строке).