Упражнения. 1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если

1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если:

а) =2 -3 , =- +3 , | |=2, | |=3, ()= ;

б) =-2 -4 , =3 -2 , | |=1, | |=4, ()= ;

в) = +5 , =-2 - , | |=2, | |=4, ()= .

Решение. а) В силу геометрического смысла векторного произведения (3.2.2) площадь S параллелограмма, натянутого на векторы и , равна длине вектора [ , ], то есть S =|[ , ]|. Найдём отдельно [ , ]:

[ , ]=[2 -3 , - +3 ] -2[ , ]+3[ , ]+6[ , ]-9[ , ]

-3[ , ]+6[ , ]=3[ , ].

Поэтому S =|3[ , ]|=3|[ , ]|=3| |×| |sin()=3×2×3×sin =9 .

á(1) Воспользовались обобщением 3.2.4 свойств векторного произведения.

(2) Воспользовались свойствами [ , ] и [ , ]=-[ , ]ñ

Ответ: а) S =9 .

2) Найти векторное произведение векторов и и его длину:

а) =(3; -2; 4), =(2; -1; 3);

б) =(1; 2; -4), =(3; -5; 1);

в) векторы и из упр 1.а), =(1; -1; 3), =(4; -2; 5);

г) =-3 + , =4 -2 , =(2; 0; -1), =(2; 3; 6).

Решение. а) По формуле (3.5) имеем

[ , ]= - + =-2 - + ,

То есть [ , ]=-2 - + . Далее |[ , ]|= = .

в) [ , ]=[2 -3 , - +3 ]=3[ , ] (см. решение упр. 1.а)) Далее,

[ , ]= - + =5 +7 +2 .

Отсюда [ , ]=3(5 +7 +2 )=15 +21 +6 и |[ , ]|= = .

Ответ: а) [ , ]=-2 - + , |[ , ]|= ;

в) [ , ]=15 +21 +6 , |[ , ]|= .