Упражнения. 1) Вычислить скалярное произведение векторов и , если известно

11 12 13 14 15 16 17

1) Вычислить скалярное произведение векторов и , если известно:

а) | |=2, | |=3, ()= ;

б) | |=3, | |=1, ()= ;

в) | |=4, | |=2, ()= .

Решение. а) По определению скалярного произведения имеем

(, )=| |×| |×cos()=2×3×cos =6× =3.

Ответ: а) (, )=3.

2) Найти скалярные произведения, если и для а), б), в) - соответствующие векторы из упр. 1):

а) (3 +4 , -2 );

б) (2 , 3 -2 );

в) (2 +4 , -3 -2 );

г) ( -4 , 3 -5 ), и ортогональны и | |=| |=1.

Решение. а) По 3.1.3 имеем

(3 +4 , -2 )=3×(-2)×(, )+4×(-2)×(, ) -6 -8×3=(-6)×4-24=-48.

á(1) Воспользовались тем, что (, )=(, )=3 (см. решение упр.1.а)) и (, )= =2²=4ñ.

Ответ: а) (3 +4 , -2 )=-48.

3) Векторы и ортогональны, вектор образует с ними углы, равные и соответственно, | |=2, | |=3, | |=4. Найти:

а) (3 -4 , 2 -5 );

б) (3 +4 -2 , -3 +2 );

в) (3 -4 +5 )²;

г) (-3 -2 +6 )².

Решение. а) Имеем

(3 -4 , 2 -5 )=3×2(, )-4×2 -3×5(, )+4×5(, )=Ä

Так как и ортогональны, то (, )=0. Далее, = =3²=9,

(, )=| |×| |×cos()=2×4×cos =8× =4,

(, )=| |×| |×cos()=3×4×cos =12× =6 .

Поэтому равенство Ä продолжаем:

(-8)×9-15×4+20×6 =-132+120 .

Таким образом (3 -4 , 2 -5 )=-132+120 .

в) Указание. (3 -4 +5 )²=(3 -4 +5 , 3 -4 +5 ), и далее, как и выше.

Ответ: а) (3 -4 , 2 -5 )=-132+120 .

4) Векторы и заданы своими координатами. Найти скалярное произведение между этими векторами и угол между ними. В частности, проверить ортогональность векторов:

а) =(2; -1), =(3; 2);

б) =(2; -1), =(1; 2);

в) =(3; 1), =(2; 2);

г) =(3; 1), =(1; -3);

д) =(1; -2; 3), =(4; 2; -1);

е) =(1; -2; 3), =(1; 1; 2);

ж) =(1; 1; 2), =(-1; -1; 1).

Решение. б) Аналог формулы (3.2) скалярного произведения в координатах для векторов =(a_x, a_y) и =(b_x, b_y) на плоскости принимает вид (, )= a_xb_x + a_yb_y. Поэтому (, )=2×1+(-1)×2=0, то есть (, )=0 и векторы и ортогональны.

д) По формуле (3.2) имеем (, )=1×4+(-2)×2+3×(-1)=-3, то есть (, )=-3. По формуле (3.3) получаем

cos()= =- ,

так как

= = и = .

Тогда ()=arccos »1,75 (рад) (значения функции arccos можно вычислить на калькуляторе или с использованием компьютера (например, в системе Excel)). В частности, векторы не ортогональны.

Ответ: б) (, )=0, в частности, векторы и ортогональны;

д) ()»1,75 (рад), в частности, векторы не ортогональны.

5) Известно, что вектор ортогонален векторам и и удовлетворяет условию (, 2 +3 -2 )= s. Найти :

а) =(3; 2; 1), =(2; -1; 3), s =2;

б) =(2; -3; 4), =(1; -2; 4), s =3.

Решение. а) Требуется найти координаты вектора . Положим =(a, b, g). Тогда (, )=3 a +2 b + g и (, )=2 a - b +3 g. Так как (, )=(, )= =0, то 3 a +2 b + g =0 и 2 a - b +3 g =0. Учитывая, что (, 2 +3 -2 )=2, получаем ещё одно уравнение 2 a +3 b - g =2 и приходим к системе с неизвестными a, b, g:

Её решение - (2; -2; -2), то есть =(2; -2; -2).

Ответ: а) =(2; -2; -2).

6) Найти внутренние углы треугольника ABC, если вершины треугольника заданы своими координатами:

а) A (3; 2), B (4; -1), С (2; 8);

б) A (1; 2), B (2; 1), С (2; 8);

в) A (3; 2; -1), B (4; -1; 8), С (2; 4, -1);

г) A (2; 1; 1), B (3; -2; 1), С (1; 2, 3).

Решение. а) Углы треугольника будем искать как углы между векторами, построенными на сторонах треугольника: =(), =(), =(). Найдём координаты соответствующих векторов: