Упражнения. 1) Найти объём параллелепипеда, натянутого на векторы , , ; выяснить, образуют ли эти векторы базис в пространстве

1) Найти объём параллелепипеда, натянутого на векторы , , ; выяснить, образуют ли эти векторы базис в пространстве:

а) =(3; -1; 2), =(2; 1; 1), =(1; -1; 2);

б) =(1; 2; 3), =(4; 5; 6), =(7; 8; 9);

в) =(1; -1; 1), =(2; 1; -1), =(1; 2; 3).

Решение. а) По свойству 3.3.4 объём V параллелепипеда, натянутого на векторы , , , можно вычислить по формуле V =|(, , )|. Так как по свойству 4^о

(, , )= = =6,

то V =6. В частности, по 3.3.5 , , образуют базис в пространстве.

2) Найти объём тетраэдра ABCD и длину её высоты, опущенной из вершины D:

а) A (-1; 2; -3), B (3; -2; 4), C (8; 1; 3), D (2; 4; 1);

б) A (-2; -2; 3), B (-3; 4; 2), C (3; 1; 3), D (3; -4; 1);

в) A (1; 4; -4), B (8; -1; -4), C (-5; -1; 4), D (-2; 3; 4).

Решение. а) Из школьного курса геометрии известно, что если тетраэдр и треугольная призма имеют одинаковые основание и высоту, то объёмы V _тетр и V _пр соответственно тетраэдра и призмы относятся как V _тетр= V _пр. Отсюда вытекает, что V _тетр= V _пар, где V _пар - объём параллелепипеда, натянутого на векторы , , (рис.3.3). Имеем =(4, -4, 7), =(9, -1, 6), =(3, 2, 4),