Скалярное произведение векторов и его свойства

3.1.1. Скалярным произведением векторов и называется число | |×| |×cos(). Векторы и называются сомножителями в скалярном произведении.

Скалярное произведение векторов и обозначается через (, ). Таким образом, по определению

(, )=| |×| |×cos() (3.1)

3.1.2. Если и коллинеарны, то (, )=±| |×| |. При этом знак «+» берётся в случае, когда , и «-» - когда . В частности, =(, )= .

Наконец, векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0: (, )=0.

3.1.3. Теорема. Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1^о. Для любых векторов и имеет место равенство

(, )=(, ).

2^о. Для любого числа a и любых векторов и имеют место равенства

(a , )= a (, ),

(, a )= a (, ).

3^о. Для любых векторов , и имеют место равенства

( + , )=(, )+(, ),

(, + )=(, )+(, ).

4^о. Если =(a_x, a_y, a_z), =(b_x, b_y, b_z), то

(, )= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z. (3.2)

Аналогичное свойство справедливо и для векторов на плоскости (только будет отсутствовать слагаемое a_zb_z). В частности, a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z =0 - условие ортогональности векторов и .

3.1.4. Свойства 2^о и 3^о обобщаются на любое число слагаемых в любом из сомножителей:

(a ₁ + a ₂ +…+ a_k , )= a ₁(, )+ a ₂(, )+…+ a_k (, ),

(, b ₁ + b ₂ +…+ b_k )= b ₁(, )+ b ₂(, )+…+ b_k (, )

Аналогичное обобщение имеет место на любое число слагаемых в обоих сомножителях. Например,

(a + b , g + d + e )=

= ag (, )+ bg (, )+ ad (, )+ bd (, )+ ae (, )+ be (, ).

3.1.5. Если известны координаты векторов и , то можно определить косинус cos() угла между ними, а по косинусу - и сам угол (). Действительно, для векторов в пространстве из (3.1) имеем

cos()= ,

куда подставляя (3.2) и | |= , = , получаем

cos()= (3.3).

Аналогичная формула верна и для векторов на плоскости.