Теоремы вероятности

Теорема умножения 1 (для зависимых событий):

Если события – зависимы, то вероятность их одновременного наступления (произведения) вычисляется по формуле

,

где условная вероятность события , вычисленная в предположении, что все предшествующие события имели место.

►

■

Теорема умножения 2 (для независимых событий):

Если события – независимы, то вероятность их одновременного наступления (произведения) вычисляется по формуле:

► На основании теоремы 1 и факта, что для независимых событий А и В справедливо равенство . ■

Теорема сложения 1 (для несовместных событий):

Если события – несовместны, то вероятность наступления одного из них (суммы) вычисляется по формуле: .

►

■

Теорема сложения 2 (для совместных событий):

Если события – совместны, то вероятность наступления хотя бы одного из них (суммы) вычисляется по формуле: ,

где – вероятность не наступления события.

► Событие С– «произойдёт хотя бы одно из двух совместных событий А и В», т. е. . Тогда полную группу событий можно представить в виде , где события – несовместны.

По теореме сложения 1 и теореме умножения 2: .

Учитывая, что , окончательно получим . ■

Замечание: Если вероятность наступления события А в каждом из n испытаний равна p, то вероятность наступления события А в n испытаниях: .

Теорема (наступление только одного из двух совместных событий):

Если события – совместны, то вероятность наступления только одного из них вычисляется по формуле:

где p –вероятность наступления события, q – вероятность не наступления события.

► Событие С – «произойдёт только одно из двух совместных событий А или В»,

т. е. , где и - несовместные события.

Тогда по теореме 1: . ■