Случайная величина называется (абсолютно) непрерывной случайной величиной (НСВ), если её функция распределения представляется в виде , , где -неотрицательная и интегрируемая в бесконечных пределах функция, называемая функцией плотности (распределения) вероятностей. Множество возможных значений непрерывной случайной величины несчётно и обычно представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой прямой.
Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной неубывающей функцией на всей числовой прямой, причём вероятность попадания в любую фиксированную точку равна нулю: , .
Функция является плотностью вероятностей некоторой НСВ , тогда и только тогда, когда: 1) ; 2) .
Если функция распределения случайной величины на числовой прямой всюду непрерывна и почти всюду дифференцируема, то она является функцией распределения непрерывной случайной величины, плотность вероятностей которой в точках, где дифференцируема, определяется равенством:
|
|
.
В точках, где недифференцируема, плотность вероятностей , определяется произвольным образом, чаще всего по непрерывности слева или справа.
Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей
.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число , если интеграл сходится абсолютно.
Дисперсию непрерывной случайной величины вычисляют по формулам:
или .
Модой непрерывной случайной величины называется число , определяемое как точка локального максимума плотности вероятностей . Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или множество значений (мультимодальное распределение).
Медианой непрерывной случайной величины называется число , удовлетворяющее условию или .
Начальным моментом -го порядка () распределения случайной величины (если он существует) называется число .
Центральным моментом -го порядка () распределения случайной величины (если он существует) называется число .
Для непрерывной случайной величины начальные и центральные моменты вычисляют по формулам: , .
В задачах 12.146-12.151 непрерывная случайная величина задана функцией распределения . Требуется: а) найти функцию плотности вероятностей ; б) вычислить математическое ожидание и дисперсию ; в) найти вероятность попадания случайной величины .в интервал .
12.146 , .
12.147 , .
12.148 , .
12.149 , .
12.150 , .
12.151 , .
В задачах 12.152-12.155 непрерывная случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Требуется: а) найти функцию распределения ; б) вычислить математическое ожидание и дисперсию ; в) найти вероятность попадания случайной величины .в интервал .
|
|
12.152 , .
12.153 , .
12.154 , .
12.155 , .
В задачах 12.156-12.157 необходимо найти неизвестные константы в выражении для функции распределения НСВ и её математическое ожидание .
12.156 12.157
В задачах 12.158-12.159 необходимо найти неизвестные константы в выражении для функции распределения НСВ и вероятность указанного интервала.
12.158 , , .
12.159 , .
В задачах 12.160-12.164 необходимо найти неизвестную константу в выражении для функции плотности вероятностей НСВ и вероятность указанного интервала.
12.160 , .
12.161 , .
12.162 , .
12.163 , .
12.164 , .
12.165 Случайная величина задана функцией распределения . Найти вероятность того, что в результате четырёх независимых испытаний величина три раза примет значение, принадлежащее интервалу , если .
12.166 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Найти вероятность того, что в трёх независимых испытаниях величина два раза примет значение, принадлежащее интервалу .
12.167 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Найти моду величины , если:
а)
б)
12.168 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Найти медиану величины , если:
а) б)
12.169 Доказать, что центральные моменты второго, третьего и четвёртого порядков: случайной величины связаны с её начальными моментами первого, второго, третьего и четвёртого порядков: равенствами: а) ;
б) ; в) .
12.170 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Требуется вычислить её начальные и центральные моменты: , ; коэффициенты асимметрии и эксцесса , если:
а) б)