Совокупность случайных величин , заданных на одном и том же вероятностном пространстве ,A, ), называют многомерной ( -мерной) случайной величиной (случайным вектором). Ограничимся рассмотрением двумерных случайных величин , .
Функцией распределения случайного вектора называется функция действительных переменных и , , определяемая формулой .
Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник , вычисляется по формуле:
, ) .
Зная функцию распределения (совместную) вектора , можно найти функцию распределения (частную) каждой компоненты:
, .
Случайные величины и называются независимыми, если для всех : . В противном случае случайные величины называют зависимыми.
Случайный вектор называется дискретным случайным вектором, если каждая из его компонент является дискретной случайной величиной. Ограничимся рассмотрением дискретных случайных величин и с конечным множеством возможных значений и .
Функция распределения дискретного случайного вектора задаётся формулой , где , , и суммирование распространяется на все значения индексов и для которых и .
|
|
Закон распределения дискретного случайного вектора удобно задавать таблицей распределения (вероятностей), в которой перечислены все возможные пары значений ), , компонент вектора и соответствующие им вероятности , причём .
Частные законы распределения , и , компонент и , где , , можно найти, производя в таблице суммирования в каждой строке по столбцам и в каждом столбце по строкам.
Дискретные случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда , , , . В противном случае они зависимы.
Ковариацией (корреляционным моментом) случайных величин и называют число . Очевидно, что . Более удобной для вычисления является формула . Для независимых случайных величин и : (необходимое условие независимости). Если , то случайные величины и называют некоррелированными.
Коэффициентом корреляции случайных величин и называют число
, где , .
Коэффициент корреляции обладает свойствами: 1) ; 2) тогда и только тогда, когда и связаны линейной зависимостью , ; 3) если и независимы, то (необходимое условие независимости).
Условные законы распределения компоненты при , (индекс сохраняет одно и тоже значение при всех возможных значениях ) задают рядами распределения, указывая все возможные значения и соответствующие им условные вероятности: , . Аналогично задают условные законы распределения компоненты при , : , . Условные вероятности компонент и вычисляют соответственно по формулам:
, .
Числовые характеристики , , , , , вычисляют по формулам: , , ,
, .
Условные математические ожидания дискретных случайных величин и при условиях и определяются соответственно формулами:
|
|
, .
Вероятность события , где - постоянная величина, вычисляется по формуле , где суммирование распространяется на все значения индексов и для которых .
В задачах 12.211-12.214 закон распределения двумерной случайной величины задан таблицей распределения вероятностей.
Требуется: а) найти законы распределения составляющих случайных величин , и выяснить являются они зависимыми или нет;
б) вычислить , а также вероятность для указанных и ;
в) найти условные законы распределения составляющих и при условии, что другая составляющая принимает указанные значения и , а также вычислить , .
12.211 , , , .
Y | |||
X | |||
0.05 | 0.1 | 0.25 | |
0.15 | 0.2 | 0.25 |
12.212 , , , .
Y | |||
X | |||
0.12 | 0.18 | 0.3 | |
0.08 | 0.12 | 0.2 |
12.213 , , , .
Y | |||
X | |||
0.06 | 0.34 | 0.03 | |
0.14 | 0.36 | 0.07 |
12.214 , , , .
Y | |||
X | |||
0.06 | 0.09 | 0.15 | |
0.08 | 0.12 | 0.2 | |
0.06 | 0.09 | 0.15 |
12.215 Бросается одна игральная кость. Требуется: а) составить закон распределения двумерной случайной величины , где случайные величины и определяются следующим образом: если при подбрасывании игральной кости выпадает чётное число очков, то , в противном случае и , когда число очков кратно трём, в противном случае ; б) выяснить являются ли величины , зависимыми и вычислить коэффициент корреляции .
12.216 Бросаются две игральные кости. Требуется: а) составить закон распределения двумерной случайной величины , где случайные величины и определяются следующим образом: если сумма очков на игральных костях чётная, то , в противном случае и , если произведение очков на игральных костях – чётное число, в противном случае ; б) выяснить являются ли величины , зависимыми и вычислить их ковариацию .
12.217 Число выбирается случайным образом из множества целых чисел: . Затем из того же множества выбирается наудачу число , больше первого или равное ему. Составить закон распределения двумерной случайной величины и найти .
12.218 Пусть и -произвольные случайные величины. Доказать, что:
а) ,
б) , где .
12.219 Случайные величины и имеют математические ожидания , , дисперсии , и ковариацию . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
12.220 Найти математические ожидания , , дисперсии , и ковариацию случайных величин и , если , , а случайные величины и имеют следующие числовые характеристики: , , , , .