Определение. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции распределения.
Определение. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(х), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее x, то есть:
F(х) = P(X < x)
Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку:
0 ≤ F(х) ≤ 1.
2. Функция распределения есть неубывающая функция, то есть:
если x > x ,
то F(x ) ≥ F(x ).
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a).
4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю:
|
|
Р(Х = x )=0.
5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то
F(x) = 0 при х ≤ a;
F(х) = 1 при х ≥ b.
6. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси Ox, то справедливы следующие предельные соотношения:
.
Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:
f(x) = F'(x).
Часто вместо термина «плотность распределения вероятностей» используют термин «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».
Свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения неотрицательна в любой точке оси Ох:
f(x)≥0 при х (– ∞; +∞).
2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), определяется равенством:
P(a < X < b) = .
3. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения:
F(x)= .
4. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от –∞ до +∞ равен единице:
dx = 1.
5. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a; b), то
= 1.
Определение. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством
М(Х)= ,
где f(x) – плотность распределения случайной величины Х.
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (a; b), то
М(Х)= .
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
|
|
М(С) = С.
2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
.
4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
.
Определение. Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
D(x)=
Как и в случае с дискретной случайной величиной, можно показать, что
D(x)=
В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a; b), то
D(X)=
или
D(X)= .
Дисперсия обладает следующими свойствами:
1. Дисперсия постоянной равна нулю:
D(C) = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:
D(CХ)=C D(Х).
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:
.
4. Дисперсия произведения независимых случайных величин равна произведению дисперсий сомножителей:
.
5. Дисперсия суммы постоянной и независимой случайной величины равна квадрату постоянной на дисперсию независимой случайной величины:
.
Пример. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х
Требуется найти:
1. График F(x),
2. Плотность f(x),
3. График f(x),
4. Математическое ожидание М(Х),
5. Дисперсию D(Х),
6. Среднее квадратическое отклонение σ,
7. Р(Х < –2), P( ≤ Х < 1) P(Х ≥ ).
Решение.
1. Построим график функции распределения
Рис. 2. График функции распределения.
2. Так как плотность f(x) равна первой производной от функции распределения
f(x)= F′(х),
то найдем производные от каждой из функций, составляющих функцию F(x):
.
Тогда получаем функцию f(x):
f(x)=
3. Построим график плотности f(x)
Рис. 3. График плотности f(x).
Заметим, что при х = 0 производная F′(х) не существует.
4. Найдем математическое ожидание непрерывной случайной величины Х:
М(Х)= = = = = = .
5. Чтобы найти дисперсию непрерывной случайной величины Х, найдём математическое ожидание случайной величины Х :
М(Х )= = = = =2.
Дисперсию найдем по формуле:
D(Х) = M(Х ) – M (Х) = 2- = 2 -1,78 = 0,22.
6. Среднее квадратическое отклонение σ найдем по формуле:
σ(X) = = = 0,47.
7. Найдем вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала (– ;– 2), то есть Р(Х< – 2):
Р(Х< – 2) = F(– 2) = 0,
Вторую вероятность Р( ≤ Х < 1) найдём по формуле Р(a ≤ Х < b)= F(b) – F(a):
Р( ≤Х<1)= F(1) – F()= .
Так как события и противоположные, то вероятность события находится по формуле:
Р =1– Р =1– F =1– .