Первый замечательный предел

Можно показать, что справедливо соотношение, называемое первым замечательным пределом:

.

Рассмотрим на примере, как можно использовать данную формулу для разрешения особенностей тригонометрических функций в конечных точках.

Задача 2.1.в. Вычислить

.

Решение. Убедимся, что мы имеем дело с неопределенностью вида . При получаем:

Прежде всего, сделаем замену переменной , так, чтобы новая переменная стремилась к 0, когда :

Используя формулу преобразования суммы синусов в произведение и формулу для косинуса двойного угла, получаем

.

Отсюда

.

Пусть сначала , тогда . Чтобы свести полученное выражение к формуле , поделим и умножим на , а на :

Заменяя пределы дробей и на 1, получаем

При имеем , и предел отличается только знаком:

.