Анализ качества полученной модели

Оценка параметров конкретного уравнения регрессии являет­ся лишь отдельным этапом длительного и сложного процесса построения регрессионной модели. Первое же полученное урав­нение очень редко является удовлетворительным во всех отно­шениях. Обычно приходиться постепенно итеративно подбирать форму связи и состав факторных переменных, то есть возвра­щаться к этапу спецификации модели, анализируя каждый раз качество полученной модели.

Рассмотрим наиболее часто используемые показатели качества линейной регрессионной модели.

1. Дисперсия отклонений:

.

2. Стандартное отклонение результата:

3. Коэффициент вариации результирующего признака

.

Он может служить критерием прогнозных качеств получен­ной регрессионной модели. Чем он меньше, тем выше прогнозные качества модели.

4. Проверка статистической значимости коэффициентов урав­нения регрессии проводится с помощью t-критерия.

5. Коэффициент детерминации (квадрат коэффициента мно­жественной корреляции):

Он используется для анализа общего качества полученной регрессионной модели. Из этого выражения очевиден смысл коэффициента детерминации: он показывает долю дисперсии, объясняемую регрессией в общей дисперсии. Коэффициент детерминации всегда лежит пределах: . Чем ближе значение коэффициента детерминации к единице, тем лучше функция описывает исходный ряд. Недостатком коэффициента детерминации является то, что введение в уравнение дополнительной переменной (даже незначимой) всегда увеличивает его значение.

Точную границу приемлемости показателя D указать для всех случаев невозможно. Нужно принимать во внимание и объем выборки, и содержательную интерпретацию уравнения.

6. Скорректированный (нормированный) коэффициент детерминации:

.

Он исключает вышеназванный недостаток, присущий коэф­фициенту D. К такой корректировке особенно часто прибегают, если объем выборки меньше 30.

Необходимость введения скорректированного коэффициента детерминации диктуется тем, что при увеличении числа пере­менных обычный коэффициент детерминации практически всегда увеличивается, но уменьшается число степеней свободы (n-k-1). Введенная корректировка всегда уменьшает значение D, поскольку (n-1)>(n-k-1). В результате величина может стать отрицательной. Это означает, что величина D была близка к нулю до корректировки, и объясняемая с помощью уравнения регрессии доля дисперсии переменной у очень мала.

Из двух вариантов регрессионных моделей, которые отлича­ются величиной скорректированного коэффициента детермина­ции, но имеют одинаково хорошие другие критерии качества, предпочтительнее вариант с большим значением скорректиро­ванного коэффициента детерминации.

7. Проверка значимости уравнения регрессии в целом проводит­ся с помощью F-критерия.

Расчетное значение этого критерия определяется по формуле:

.

Расчетное значение сравнивается с критическим уровнем, который зависит от уровня значимости, числа степеней свободы , числа степеней свободы . Если расчетное значение больше критического – уравнение в целом значимо.

8. На качество модели влияет также степень выполнения ос­новных предпосылок множественной линейной регрессионной модели. К таким предпосылкам относятся предпосылки о неза­висимости и одинаковой распределейности отклонений, кроме того отклонения должны иметь нулевое среднее; предпосылка о неслучайности и независимости объясняющих переменных. Если предпосылки нарушаются, то ухудшаются свойства оценок па­раметров регрессии.