Эргодические случайные процессы

Стационарный случайный процесс может обладать или не обладать эргодическим свойством. Эргодическое свойство состоит в том, что любая достаточно продолжительная реализация стационарного эргодического процесса является как бы "полномочным представителем" всей совокупности реализаций случайного процесса и по ней можно составить представление о случайном процессе в целом.

Поясним это на примере конкретной числовой характеристики – математического ожидания. Для стационарного процесса математическое ожидание – это постоянная величина, и, следовательно, его можно оценить по любому сечению, имея достаточно много реализаций. Для стационарного эргоди­ческого процесса то же самое можно сделать по одной реализации, если она имеет достаточно большую продолжительность. То есть для стационарного эргодического процесса среднее значение по любому сечению можно заменить на среднее значение по одной достаточно продолжительной реализации.

Достаточным условием эргодичности стационарного случайного процесса является следующее:

(6.29)

то есть требуется, чтобы при увеличении сдвига между сечениями корреляционная функция затухала и в пределе, при t = ∞, равнялась нулю.

Однако стационарный случайный процесс может быть и неэргодическим. Примеры эргодического и неэргодического случайных процессов представлены на рис. 6.5.

Неэргодичность случайного процесса может быть вызвана, например, тем, что в качестве слагаемого случайного процесса фигурирует случайная величина.

Рис.6.5. Реализации неэргодического (а) и эргодического (б) стационарных случайных процессов.

Рассмотрим случайный процесс U (t):

, (6.30)

где X (t) – эргодический случайный процесс, а v – случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией m_v и D_v.

Из теории известно, что в этом случае

, (6.31)

. (6.32)

Отсюда получаем

, (6.33)

следовательно, не выполняется условие (6.29) и случайный процесс U (t) является неэргодическим.

На практике, имея всего одну реализацию случайного процесса (например, сорокалетний ряд среднегодовых расходов воды), мы вынуждены принимать гипотезу о стационарности и эргодичности. Так как только в этом случае оценки статистических характеристик, полученные по данной реализации, мы можем считать характеристиками всего случайного процесса.

При этом следует иметь в виду, что выбор вероятностной модели не должен быть формальным. Необходимо руководствоваться как общими соображениями, так и эмпирическими данными, для того чтобы модель была непротиворечивой и адекватно описывала исследуемый процесс.