Каноническое разложение случайных процессов

Любой случайный процесс X (t)может быть представлен в виде его разложения, т. е. в виде суммы элементарных процес­сов:

, (6.36)

где V_k – случайные величины; j_k (t) – неслучайные функции.

Такое представление широко используется на практике в силу того, что оно дает возможность проводить довольно просто различные преобразования случайных процессов.

Из теории случайных процессов известно, что разложение (6.36) можно построить множеством способов. В частности, каноническим разложением случайного процесса X (t) называется выражение вида:

. (6.37)

В этом выражении m_x (t) = M [ X (t)] представляет собой математическое ожидание случайного процесса X (t); V ₁,…, V_k – некоррелированные и центрированные случайные величины с дисперсиями D ₁,…, D_k; j ₁(t),…, j_k (t) – неслучайные функции аргумента t.

Случайные величины V ₁,…, V_k называются коэффициентами канонического разложения, а неслучайные функции j ₁(t),…, j_k (t) – координатными функциями канонического разложения.

Выпишем основные характеристики случайного процесса, заданного своим каноническим разложением:

, (6.38)

. (6.39)

Выражение (6.39) называется каноническим разложением корреляционной функции случайного процесса X (t). Из выражения (6.39) получаем каноническое разложение дисперсии случайного процесса X (t):

. (6.40)