ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Практикум
СОДЕРЖАНИЕ
ВЕРОЯТНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ…………...………………..... | |
1. Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями ……………….…...... | |
2. Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятностей.............................................. | |
3. Геометрические вероятности …………....……..... | |
4. Теоремы сложения и умножения вероятностей | |
5. Формула полной вероятности и формула Байеса | |
6. Повторные независимые испытания (схема Бернулли) …….............................................………….. | |
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ….......……………….... | |
7. Дискретная случайная величина ………......…... | |
8. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности ……...............................................…... | |
9. Закон больших чисел …………......…………….... | |
10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов ……............................................... | |
ПРИЛОЖЕНИЯ …………………………………….... | |
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………... |
ВЕРОЯТНОСТЬ.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
|
|
1. Пространство элементарных событий.
Операции над случайными событиями
В основе теории вероятностей лежит понятие случайного эксперимента. Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым из совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя предсказать, каким именно.
Примеры случайного эксперимента: бросание монеты, игральной кости, проведение лотереи, азартные игры, стрельба по цели, поступление звонков на телефонную станцию и т.п.
Различные результаты эксперимента называют исходами.
Определение 1. Множество всех взаимоисключающих исходов эксперимента называется пространством элементарных событий. Взаимоисключающие исходы — это те, которые не могут наступить одновременно.
Пространство элементарных событий будем обозначать буквой Ω, а его исходы — буквой ω.
Определение 2. Произвольное подмножество пространства элементарных событий называется событием. Событие может состоять из одного или нескольких элементарных событий, а также из счетного или несчетного числа элементарных событий.
Событие Ω, состоящее из всех исходов эксперимента, называется достоверным событием. Оно обязательно происходит, так как эксперимент всегда заканчивается каким-нибудь исходом.
Пустое множество исходов эксперимента называется невозможным событием и обозначается символом ø.
Определение 3. Суммой двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих либо в А, либо в В. Другими словами, под понимают следующее событие: произошло или событие А, или событие В, либо они произошли одновременно, т.е. произошло хотя бы одно из событий А или В (рис. 1.1а).
|
|
Определение 4. Произведением двух событий А и В (обозначается АВ) называется событие, состоящее из тех исходов, которые входят как в А, так и в В. Иными словами, АВ означает событие, при котором события А и В наступают одновременно (рис. 1.1б).
Определение 5. Разностью двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.
Смысл события состоит в том, что событие А наступает, но при этом не наступает событие В (рис. 1.1в).
Определение 6. Противоположным(дополнительным) для события А (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в А. Наступление события означает просто, что событие А не наступило.
Если события изобразить на плоскости, то результат определенных операций над событиями выглядит следующим образом:
Рис. 1.1
Определение 7. События А и В называются несовместимыми, если нет исходов, входящих как в А, так и в В, т.е. АВ = ø.
Определение 8. Говорят, что событие А содержится в событии В (обозначается ), если все исходы события А входят в событие В.
Свойства операций над событиями
1) ; | 2) ; | 3) ; |
4) ; | 5) ; | 6) ø; |
7) ; | 8) ; | 9) ; |
10) ; | 11) ; | 12) . |
Пример 1.1. Два шахматиста играют подряд две партии. Под исходом опыта будем понимать выигрыш одного из них в i -й партии или ничью. Построить пространство элементарных исходов.
Решение. Обозначим события — в i -й партии выиграл первый игрок, — второй, С — ничья. Тогда возможные исходы игры:
1. Обе партии выиграл первый игрок .
2. Обе партии выиграл второй игрок .
3. Обе партии закончились вничью .
4. В первой партии выиграл первый игрок, во второй — второй .
5. В первой выиграл первый игрок, во второй — ничья .
6. В первой партии победа второго игрока, во второй — первого .
7. В первой — победа второго игрока, во второй — ничья .
8. В первой — ничья, во второй — победа первого игрока .
9. В первой — ничья, во второй — победа второго игрока .
Ответ: = , , , , , , , , .
Пример 1.2. Пусть А, В, С — три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С:
1. Произошло только А.
2. Произошло А и В, но С не произошло.
3. Все три события произошли.
4. Произошло, по крайней мере, одно из событий.
5. Произошли, по крайней мере, два события.
6. Произошло одно и только одно событие.
7. Произошли два и только два события.
8. Ни одно событие не произошло.
9. Произошло не более двух событий.