Обратные матрицы

Квадратная матрица называется обратимой, если существует матрица такая, что . Эту матрицу называют обратной к матрице и обозначают .

Каждой квадратной матрице соответствует определитель . Оказывается, что если , то . Так как , то .

Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является условие .

Алгебраическим дополнением элемента называется произведение числа на определитель, получающийся при вычеркиванием -ой строки и -го столбца. Например, определитель

имеет следующие алгебраические дополнения:

; ; ; .

Если определитель матрицы отличен от нуля , то обратную матрицу строят следующим образом:

1) находят все алгебраические дополнения;

2) составляют матрицу алгебраических дополнений ;

3) транспонируют матрицу B и умножают на число .

Полученная матрица и будет обратной матрицей.

Задача. Решить матричным способом систему уравнений

Решение. Положим, что

; ; .

Тогда матричная запись рассматриваемой системы уравнений будет иметь вид

. (10)

Найдем определитель матрицы :

.

Так как , то существует обратная матрица . Умножая слева на матрицу равенство (10), получим, что или . Найдем обратную матрицу :

; ; ;

; ; ;

; ; .

Обратная матрица .

Но тогда .

Ответ: