Квадратная матрица называется обратимой, если существует матрица такая, что . Эту матрицу называют обратной к матрице и обозначают .
Каждой квадратной матрице соответствует определитель . Оказывается, что если , то . Так как , то .
Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является условие .
Алгебраическим дополнением элемента называется произведение числа на определитель, получающийся при вычеркиванием -ой строки и -го столбца. Например, определитель
имеет следующие алгебраические дополнения:
; ; ; .
Если определитель матрицы отличен от нуля , то обратную матрицу строят следующим образом:
1) находят все алгебраические дополнения;
2) составляют матрицу алгебраических дополнений ;
3) транспонируют матрицу B и умножают на число .
Полученная матрица и будет обратной матрицей.
Задача. Решить матричным способом систему уравнений
Решение. Положим, что
; ; .
Тогда матричная запись рассматриваемой системы уравнений будет иметь вид
. (10)
Найдем определитель матрицы :
.
Так как , то существует обратная матрица . Умножая слева на матрицу равенство (10), получим, что или . Найдем обратную матрицу :
; ; ;
; ; ;
; ; .
Обратная матрица .
Но тогда .
Ответ: