Векторы и линейные операции над ними

В геометрии вектором называют направленный отрезок с начальной А и конечной В точками, который можно перемещать параллельно самому себе. Таким образом, считается, что два направленных отрезка и , имеющие равные длины и одно и то же направление, определяют (изображают) один и тот же вектор , и пишут .

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Если вектор изображается направленным отрезком , то вектор, изображаемый направленным отрезком , называется вектором, противоположным вектору и обозначается - .

Для векторов вводятся операции сложения и вычитания. При этом заметим, что знаки «+» и «-», которые ставятся между векторами, имеют другой смысл, чем в алгебре: они обозначают не алгебраическое, а геометрическое сложение векторов по правилу треугольника или параллелограмма.

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

Сложение векторов и умножение их на число называются линейными операциями над векторами. Эти операции обладают свойствами по форме аналогичными свойствам сложения и умножения чисел.

Если в прямоугольной системе координат точки А и В имеют координаты и , то координаты вектора находятся как разности соответствующих координат конца В и начала А этого вектора, т.е.

,

а модуль его определяется как расстояние между двумя точками:

.

Линейные операции над векторами, заданными своими координатами и , выполняются по следующим правилам:

1) при сложении двух векторов их одноименные координаты складываются: ;

2) при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число: .

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, т.е. .

Два вектора коллинеарные, если их координаты пропорциональны.

Итак, если ½½ , то или .