2015-04-12
30035
Умножение вектора на вектор бывает двух типов: скалярное и векторное. В результате скалярного умножения двух векторов получаем число (скаляр). В результате векторного произведения двух векторов получаем вектор.
Скалярным произведением 
двух ненулевых векторов 
и 
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: 
, где 
.
Свойства скалярного произведения во многом сходны со свойствами произведения действительных чисел.
Векторным произведением двух векторов 
и 
называется вектор 
, который:
1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
: 
;
2) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;
3) направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от 
к 
рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов 
, 
и 
называется правой тройкой векторов).
Отличительная особенность векторного произведения состоит в том, что для него переместительное свойство (коммутативность) не имеет места. От перестановки векторов – сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный: 
.
Три вектора могут быть перемножены несколькими способами. Чаще всего рассматривают смешанное произведение двух векторов векторно и на третий скалярно. В результате получают число.
Смешанное произведение трех векторов 
, 
и 
, которое обозначается 
или 
, есть скаляр, абсолютная величина которого равна обьему параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
и 
, как на ребрах.
Пусть заданы два вектора 
и 
.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:
.
Угол между векторами вычисляется по формуле
,
или в координатной форме 
.
Условием перпендикулярности ненулевых векторов 
и 
является равенство нулю их скалярного произведения:
.
Векторное произведение ненулевых векторов 
выражается через координаты данных векторов 
и 
следующим образом:
.
Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е. 
½½ 
.
Скаляр 
, представляющий смешанное произведение трех векторов, равняется определителю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов:
.
Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: 
.
Задача. Определить внутренние углы 
c вершинами 
.
Решение. Найдем 
. Для этого надо найти векторы 
и 
. Зная векторы 
и 
, из формулы (2) получим
Легко видеть, что 
. Тогда
.
Отсюда 
.
Аналогично, находя предварительно, что 
, получим
.
Отсюда 
и 
.
Задача. Вычислить площадь треугольника с вершинами 
.
Решение. Найдем вначале площадь 
параллелограмма, построенного на векторах 
как на сторонах. По определению векторного произведения 
. Но
.
Тогда 
.
Следовательно, 
.
Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами 
.
Решение. Найдем координаты векторов 
. Очевидно, что 
.
Тогда 
. Но 
..
Следовательно, 
.
