Умножение вектора на вектор бывает двух типов: скалярное и векторное. В результате скалярного умножения двух векторов получаем число (скаляр). В результате векторного произведения двух векторов получаем вектор.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .
Свойства скалярного произведения во многом сходны со свойствами произведения действительных чисел.
Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который:
1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и : ;
2) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;
3) направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от к рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов , и называется правой тройкой векторов).
Отличительная особенность векторного произведения состоит в том, что для него переместительное свойство (коммутативность) не имеет места. От перестановки векторов – сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный: .
|
|
Три вектора могут быть перемножены несколькими способами. Чаще всего рассматривают смешанное произведение двух векторов векторно и на третий скалярно. В результате получают число.
Смешанное произведение трех векторов , и , которое обозначается или , есть скаляр, абсолютная величина которого равна обьему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.
Пусть заданы два вектора и .
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:
.
Угол между векторами вычисляется по формуле
,
или в координатной форме .
Условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения:
.
Векторное произведение ненулевых векторов выражается через координаты данных векторов и следующим образом:
.
Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е. ½½ .
Скаляр , представляющий смешанное произведение трех векторов, равняется определителю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов:
.
Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .
Задача. Определить внутренние углы c вершинами .
Решение. Найдем . Для этого надо найти векторы и . Зная векторы и , из формулы (2) получим
Легко видеть, что . Тогда
.
Отсюда .
Аналогично, находя предварительно, что , получим
.
Отсюда и .
Задача. Вычислить площадь треугольника с вершинами .
|
|
Решение. Найдем вначале площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах. По определению векторного произведения . Но
.
Тогда .
Следовательно, .
Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами .
Решение. Найдем координаты векторов . Очевидно, что .
Тогда . Но
..
Следовательно, .