Определение группы

Группой называется множество элементов, для которых определена некоторая операция и выполняются следующие аксиомы:

1. G.1. Операция может быть применена к любым двум элементам группы, в результате чего получается третий элемент группы, т.е., если и , то .
2. G.2. Для любых трех элементов , и из .
3. G.3. В существует единичный элемент , т.е. такой, что для любого .
4. G.4. Для любого элемента существует обратный элемент такой, что .

Аксиома G.1 определяет замкнутость операции в группе. Обычно операции над элементами записывают в виде и называют сложением или в виде и называют умножением, даже если они не являются обычными сложением и умножением. В соответствии с двумя записями операций различают аддитивную и мультипликативную группы.

Свойство операции, сформулированное в виде аксиомы G.2, называют ассоциативностью. Она означает, что порядок выполнения операций несущественен, и поэтому скобки не нужны.

Аксиома G.3 постулирует обязательное существование единичного элемента. Для аддитивной группы единичный элемент называют нулем, обозначают 0 и определяют из уравнения . Для мультипликативной группы единичный элемент называют единицей и определяют из уравнения .

Аксиома G.4 требует для каждого элемента группы существования обратного элемента. Если групповая операция – сложение, то элемент, обратный , обозначается и находится из уравнения . Для мультипликативной группы обратный к элемент обозначается и находится из уравнения .

Группа называется коммутативной или абелевой, если кроме аксиом G.1 – G.5 выполняется следующая аксиома коммутативности.

G.5. Для двух произвольных элементов и из справедливо .