Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости

Опр 1. Система векторов называется линейно зависимой, если сущ. числа не все равные 0, такие что (1)

Система векторов называется линейно независимой, если равенство (1) возможно только в том случае, когда все числа =0

Выражение стоящее в левой части рав-ва (1) наз-ют линейной комбинацией векторов

Опр 2. Система векторов является линейно зависимой, если существует линейная комбинация этих векторов с неравными 0 числами, которая тождественно равна.

Теор 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то данная система линейно зависима.

Док-во. Пусть , тогда

Теор 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить произвольный вектор , то вновь полученная система будет линейно зависима.

Док-во. Т.К. система векторов линейно зависима, то есть не все равные нулю, такие что (2) (3)

(4)

Есть ,

0 -не все равны нулю

Следовательно система линейно зависима.

Следствие. Если к линейно зависимой системе добавить любое кол-во векторов, то полученная система будет линейно зависима.

Теор. (О линейной зависимости двух векторов.)

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Док-во.

-коллинеарны

Теор. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны

Док-во.

Для и пл-ть , что (или //) и либо , либо // ей они компланарны.

Теор. В трехмерном пространстве любые 4 вектора линейно зависимы.

Док-во.

-угол между

Вектор в системе координат

Базис-максимальная упорядоченная

система линейно независимых векторов.

На плоскости 2 любых неколлинеарных вектора образуют базис.

ДПБ-базис, состоящий из ортогональных еденичных векторов.

Операции над векторами в координатной форме.

-нач.точка -кон.точка

направляющие косинусы