Размерность и базис линейного пространства

Говорят, что элемент (вектор) линейного пространства линейно выражается через элементы (векторы) , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов, т.е. представить в виде .

Если любой вектор системы векторов линейного пространства линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой.

Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.

Справедливо следующее утверждение.

Система векторов линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства следует равенство нулю всех коэффициентов .

Если в линейном пространстве существует линейно независимая система из векторов, а любая система из -го вектора линейно зависима, то число называется размерностью пространства и обозначается . В этом случае пространство называют -мерным линейным пространством или -мерным векторным пространством.

Любая упорядоченная линейно независимая система векторов линейного пространства образует базис пространства и любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса: .

Числа называют координатами вектора в базисе и обозначают . При этом для любых двух произвольных векторов -мерного линейного пространства , и произвольного числа справедливо: и .

Это означает, что все -мерные линейные пространства “устроены” одинаково -- как пространство векторов-столбцов из действительных чисел, т.е. что все они изоморфны пространству .

Линейные пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если векторам и из соответствуют векторы и из , то вектору соответствует вектор и при любом вектору соответствует вектор .

Изоморфизм -мерных линейных пространств пространству означает, что соотношения между элементами -мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из и операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из справедливо для соответствующих элементов любого -мерного линейного пространства.

Например, доказано, что система векторов из

, ,...,

образует базис в тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, со столбцами :

Для векторов из это означает, что они образуют базис в тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, столбцами которой являются компоненты векторов .

Пусть и -- два базиса в . Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица , столбцами которой являются координаты векторов в базисе :