Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.
Базис евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.
при
Базис евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:
(8.31) |
Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.
В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.