Пример. 1) Пусть точка C - середина отрезка AB

РИС 15 (1,2,3,4)

1) Пусть точка C - середина отрезка AB. Тогда С делит отрезок AB в отношении .

2) Если точка C совпадает с точкой A, то она делит отрезок AB в отношении 0.

3) Если точка C совпадает с точкой B, то она делит отрезок AB в отношении 1.

4) Если точка C такова, что точка A - это середина отрезка CB, то она делит отрезок AB в отношении (-1).

Замечания.

(1) В данном определении порядок точек A и B важен. Если точка C делит отрезок AB в отношении l, то она делит отрезок BA в отношении (1-l) (докажите).

(2) Точка C лежит на отрезке [AB] тогда, и только тогда, когда точка C делит отрезок [AB] в отношении l и 0 £ l £ 1.

Лемма.

1) Для любых двух различных точек A и B, и для любой точки С на прямой AB существует такое число l, что точка C делит отрезок AB в отношении l.

2) Для любых двух различных точек A и B, и для любого числа l существует точка C на прямой AB такая, что точка C делит отрезок AB в отношении l.

Доказательство. (провести самостоятельно)

Пусть в Eⁿ введена декартова система координат.

Теорема. Точка C делит отрезок AB в отношении l тогда, и только тогда, когда справедливо следующее равенство _C = (1 - l) _A + l _B, где _A- координаты точки A, _B - координаты точки B, _C - координаты точки C.