Замечание. В сферической системе координат координатные поверхности r = const - это сферы с центром в точке O, координатные поверхности j = const - это перпендикулярные

В сферической системе координат координатные поверхности r = const - это сферы с центром в точке O, координатные поверхности j = const - это перпендикулярные плоскости a полуплоскости с границей (Oz), координатные поверхности q = const - это круговые конусы с вершиной в точке O.

Теорема. (О взаимосвязи декартовых сферических координат точки).

Пусть в пространстве введены сферическая и декартова системы координат так, начало декартовой системы координат - это фиксированная точка сферической системы координат, полярная ось l совпадает с положительным лучом оси (Ox), полуплоскость a’ содержит положительный луч оси (Oy), а положительный луч оси (Oz) декартовой системы координат содержится в положительном полупространстве П сферической системы координат.

Тогда для любой точки плоскости (кроме точек на оси (Oz)) ее декартовы координаты (x,y,z) выражаются через ее сферические координаты (r,j,q) по следующим формулам:

x = r cosq cos j, y = r cosq sin j, z = rsinq, при этом r² = x² + y²+z².

Доказательство.

Возьмем произвольную точку A Î E³ \ (Oz), и пусть A(x,y,z) и A(r,j,q).

По условию теоремы совпадают плоскости a и (xOy), и оси (Oz). Рассмотрим проекцию точки A на плоскость a - точку A’.

1 случай. Точка A не лежит в плоскости a.

Тогда точки A и A’ не совпадают.

Из прямоугольного треугольника OAA’: |OA’| = |OA| |cosq|.

Так как q Î , то cosq ³ 0 и |OA’| = r cosq..

В плоскости a введена полярная система координат, и |OA’| - это первая полярная координата точки A’. Тогда x = |OA’| cosj, y = |OA’| sinj (см.§ 3)., то есть x = r cosq cos j, y = r cosq sin j.

Третья декартова координата точки A такова, что |z| = |AA’|.

Из прямоугольного треугольника OAA’: |AA’| = |OA| |sinq|.

Заметим, что знаки q и z совпадают (так как одинаково зависят от положения точки A относительно полупространства П), поэтому z = r sinq.

2 случай. Точка A лежит в плоскости a.

Тогда точки A и A’ совпадают, |OA| = |OA’| = r и |AA’| = 0.

Заметим, так же, что q = 0 и z = 0, поэтому равенство z = r sinq выполняется для координат точки A.

Рассуждения для декартовых координат х и y точки A аналогичны случаю 1, то есть x = |OA’| cosj, y = |OA’| sinj. С учетом того, что q = 0 и cosq = 1, получаем, что для координат точки A справедливы и равенства x = r cosq cos j, y = r cosq sin j.