Две прямые

Имеем прямые l ₁ и l ₂, заданные уравнениями

A ₁ x ₁ + B ₁ y ₁ + C ₁ = 0 или y = k ₁ x + b ₁,

A ₂ x ₂ + B ₂ y ₂ + C ₂ = 0 или y = k ₂ x + b ₂.

Для определения координат точки пересечения линий достаточно решить эту систему уравнений.

Пусть – угол между l ₁ и l ₂, а – угол между их нормальными векторами n ₁ и n ₂, тогда cos = |cos | и вычисление сведется к вычислению угла между векторами n ₁ и n ₂:

. (10)

В случае уравнений с угловыми коэффициентами имеем

(11)

Если l ₁ || l ₂, то их нормальные вектора коллинеарны: n ₁ = n ₂ или
A ₁ = A ₂, B ₁ = B ₂, т.е. коэффициенты уравнений параллельных линий пропорциональны

или k ₂ = k ₁. (12)

Если l ₁ l ₂, то их нормальные вектора также и n ₁ n ₂ = 0, т.е.

A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ = 0 (13)

или = (1 + k ₂ k ₁) = 0

k ₂ = – . (14)

Дробь обращается в бесконечность, если знаменатель стремится к 0.

Решение типичных задач

Пример 1. Найти уравнения двух прямых, проходящих через точку М ₀(1; 4), если одна перпендикулярна, а другая параллельна прямой l: x – 2 y + 4 = 0.

Сделаем чертеж. Из общего уравнения прямой Ax + By + C = 0 сразу определяются нормальный вектор n = { A; B }, направляющий вектор a = {1/ A; –1/ B } и угловой коэффициент
.

В нашем случае x – 2 y + 4 = 0 n = {1; –2}, a = {1; 1/2}, k = ½.

Решение 1. Дано l ₁ || l, тогда и n ₁ || n. Вектора коллинеарны и могут отличаться только длиной. Пусть n ₁ = n = {1; –2}. Тогда l ₁ задают точка М ₀(1; 4), вектор n ₁ и уравнение прямой с этими параметрами A (x – x ₀) +
+ B (y – y ₀) = 0, т.е. 1(х – 1) – 2(у – 4) = 0 или l ₁: x – 2 y + 7 = 0.

Дано l ₂ l, тогда а ₂ || n. Пусть а ₂ = n = {1; –2}. Тогда l ₂ задают точка М ₀(1; 4), вектор а ₂ и каноническое уравнение прямой , т.е. или l ₂: x + ½ y – 3 = 0 n ₂ = {1; ½}, а ₂ = {1; –2}, k = –2.

Решение 2. Дано l ₁ || l, тогда имеем k ₁ = k = ½ и точку М ₀(1; 4). Используем уравнение пучка прямых y – y ₀ = k (x – x ₀), т.е. y – 4 = ½ (x – 1) или l ₁: ½ х – у + 7/2 x – 2 y + 7 = 0 n = {1; –2}, a = {1; 1/2}, k = ½.

Дано l ₂ l, тогда имеем k ₂ = –1/ k = –2 и точку М ₀(1; 4). Используем уравнение пучка прямых y – y ₀ = k (x – x ₀), т.е. y – 4 = –2(x – 1) или
l ₂: 2 х + у + 6 = 0 n ₂ = {2; 1}, а ₂ = {½; –1}, k = –2.

Пример 2. Составить уравнение прямой l, проходящей через точку М ₁(6; 4) и точку пересечения прямых х + у – 3 = 0, х – 2 у – 6 = 0.

Решение. Сделаем чертеж. Координаты точки пересечения дает решение системы уравнений т.п. М ₂(4; –1). Имеем координаты двух точек и уравнение прямой проходящей через две точки . В нашем случае 5 х – 2 у – 20 = 0.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми l ₁: 3 x – y + 2 = 0,
l ₂: 6 x – 2 y – 7 = 0.

Решение. Сделаем чертеж. Выберем произвольную точку на l ₁. Пусть x = 0, тогда у = 2 или М ₀(0; 2). Расстояние от М ₀(х ₀; у ₀) до прямой
Ax + By + C = 0 определяет формула
d = , т.е. d = = .

Пример 4. Даны вершины D ABC: A (2; 1), B (–1; –1), C (3; 2). Составить уравнение высоты AM.

Решение. Сделаем чертеж. Уравнение прямой, проходящей через две точки B и C имеет вид или l ₁: 3 x – 4 y – 1 = = 0, т.е. n = {3; –4},
a = {1/3; 1/4}, k = – А / В = ¾. Прямая АМ – l ₂ l ₁, следовательно, k ₂ = –1/ k ₁ = –4/3. Используем уравнение пучка прямых y – y ₀ = k (x – x ₀), т.к. k ₂ и A (2; 1) известны: y – 1 = –4/3(x – 2) или 4 x + 3 y – 11 = 0 n = {4; 3}, a = {1/4; 1/3}.

Задачи для самостоятельного решения

1) Найти проекцию точки М (–8; 12) на прямую, проходящую через точки А (2;–3) и В (–5; 1). Сделать чертеж.

2) Даны вершины D АВС: А (2;1), В (–1; –1), С (3; 2). Составить уравнение высоты треугольника и сделать чертеж.

3) Найти длину высоты BD треугольника с вершинами А (–3; 0), В (2; 5), С (3; 2) и сделать чертеж.

4) Даны уравнения двух сторон прямоугольника: 2 х – 3 у + 5 = 0 и
3 х + 2 у – 7 = 0 и одна из его вершин (2; –3). Составить уравнения для остальных сторон прямоугольника и сделать чертеж.

5) Даны вершины D АВС: А (1; 1), В (4; 5), С (13; –4). Составить уравнение высоты треугольника из вершины С и медианы из вершины В. Сделать чертеж.

6) В точках пересечения прямой 2 х – 5 у – 10 = 0 с осями координат восстановлены перпендикуляры к этой прямой. Написать их уравнения и сделать чертеж.

7) Даны уравнения двух сторон ромба 3 у – х = 0, 3 у + х = 0 и точка пересечения их диагоналей (0; 3). Найти длину высоты и уравнения диагоналей.

8) Через точки М (–1; 2) и N (2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат и найти уравнение перпендикуляра к прямой MN в точке М. Сделать чертеж.

9) Даны три последовательные вершины параллелограмма А (1; 1),
В (3; 7), С (9; 9). Найти четвертую вершину D и уравнения его диагоналей. Сделать чертеж.

10) Даны уравнения двух сторон прямоугольника х – 2 у = 0,
х – 2 у + 15 =0 и уравнение одной из его диагоналей 7 х + у – 15 = 0. Найти вершины прямоугольника и сделать чертеж.