Даны координаты вершин треугольника .
1) Вычислить длину стороны .
2) Составить уравнение линии .
3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.
4) Найти точку пересечения медиан.
5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.
6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.
А
О
В С
М
Решение
1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .
; .
2. Уравнение прямой ВС: ; ; .
3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :
. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .
4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:
; ; .
Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .
Используем формулы деления отрезка в данном отношении :
.
5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;
.
6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:
|
|
.
Точка К является серединой отрезка АМ.
.
Контрольные варианты к задаче 2
Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение линии ВС;
3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;
4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
5) найти точку пересечения медиан;
6) вычислить внутренний угол при вершине В;
7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.
1. | . | 2. | . |
3. | . | 4. | . |
5. | . | 6. | . |
7. | . | 8. | . |
9. | . | 10. | . |
11. | . | 12. | . |
13. | . | 14. | . |
15. | . | 16. | . |
17. | . | 18. | . |
19. | . | 20. | . |
21. | . | 22. | . |
23. | . | 24. | . |
25. | . | 26. | . |
27. | . | 28. | . |
29. | . | 30. | . |