Линии на плоскости

Пусть х и у – две произвольные переменные.

Определение: Соотношение вида F(x,y)=0 называется уравнением, если оно справедливо не для всяких пар чисел х и у.

Пример: 2х + 7у – 1 = 0, х² + y² – 25 = 0.

Если равенство F(x,y)=0 выполняется для любых х, у, то, следовательно, F(x,y) = 0 – тождество.

Пример: (х + у)² - х² - 2ху - у² = 0

Говорят, что числа х₀ и у₀ удовлетворяют уравнению, если при их подстановке в это уравнение оно обращается в верное равенство.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии.

Определение: Уравнением данной линии называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой из точек, не лежащих на этой линии.

Линия, определяемая уравнением y = f(x), называется графиком функции f(x). Переменные х и у – называются текущими координатами, т. к. являются координатами переменной точки.

Несколько примеров определения линий.

1) х – у = 0 => х = у. Это уравнение определяет прямую:

2) х² - у² = 0 => (х-у)(х+у) = 0 => точки должны удовлетворять либо уравнению х - у = 0, либо уравнению х + у = 0, что соответствует на плоскости паре пересекающихся прямых, являющихся биссектрисами координатных углов:

3) х² + у² = 0. Этому уравнению удовлетворяет только одна точка О(0,0).
4) ρ=а cosθ. Это уравнение задает окружность, имеющую радиус-вектор , наклоненный под углом к оси Ох.

Предметом изучения аналитической геометрии являются алгебраические линии – это такие линии, которые в декартовой прямоугольной системе координат определяются уравнением вида: .

Примеры: Ах+Ву+С=0,

Ах²+Ву²+Сху+Dх+Еу+F=0

Уравнение Ах+Ву+С=0 – общее уравнение первой степени.

Примеры неалгебраических линий: y - sinx = 0,

А^х + В^у + С = 0.

Определение: Линия, определяемая в декартовой системе координат алгебраическим уравнением n-ой степени, называется линией n-ого порядка.

Теорема: Если в декартовой системе координат линия определяется уравнением n-ой степени, то в другой декартовой системе координат она также определяется уравнением n-ой степени, т. е. порядок линии не зависит от выбора системы координат.