2015-04-12
1418
Задача 1. Найти уравнение плоскости 
, проходящей через точку 
и перпендикулярной заданной прямой 
: 
.
Кратко: -?: 
, 
.
Решение.
Т.к. , то нормалью к плоскости можно считать направляющий вектор прямой: 
= 
. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку.
: 
.
Задача 2. Найти уравнение плоскости , проходящей через заданную прямую : и точку 
.
Кратко. -?: 
, 
.
По условию задачи нам известны две точки, лежащие в плоскости: 
, 
, и вектор 
, параллельный плоскости. Произвольная точка 
будет принадлежать плоскости, если векторы 
будут компланарны:
.
Это и есть уравнение искомой плоскости. Раскрыв определитель, можно получить общее уравнение плоскости.
Задача 3. Построить плоскость , проходящую через две заданные параллельные прямые 
: и 
: 
.
-?: , 
, 
.
Эта задача может решаться аналогично предыдущей. Известны две точки и 
, лежащие в плоскости, и вектор ( или 
), параллельный плоскости. Произвольная точка будет принадлежать плоскости, если выполняется условие компланарности трех векторов:
– это уравнение искомой плоскости.
Аналогично решается задача построения плоскости , проходящей через две пересекающиеся прямые.
Задача 4. Найти уравнение прямой 
, проходящей через заданную точку и перпендикулярной плоскости : 
Решение. Так как прямая L перпендикулярна плоскости 
, то ее направляющий вектор параллелен нормали к плоскости. Следовательно, нормаль к плоскости 
может служить направляющим вектором прямой L. Запишем каноническое уравнение прямой:
.
Задача 5. Построить прямую 
, перпендикулярную двум скрещивающимся прямым.
: 
и : 
,
и проходящую через заданную точку .
Решение. Так как прямая L перпендикулярна к прямым L 1 и L 2, то ее направляющий вектор 
можно найти как векторное произведение направляющих векторов этих прямых:
.
Тогда можно составить каноническое уравнение искомой прямой:
.
Задача 6. Найти точку пересечения прямой : 
и плоскости 
.
Решение. Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить совместно уравнения прямой и плоскости :
Для этого приведем уравнение прямой к параметрическому виду:
(*)
и подставим выражения 
в уравнение плоскости.
Решим полученное уравнение с одной неизвестной t, а найденное значение подставим в (*). Полученные значения будут координатами искомой точки пересечения.
Задача 7. Через точку провести прямую, перпендикулярную заданной прямой : .
Решение.
1). Сначала через точку проведем плоскость , перпендикулярную прямой 
:
.
2). Найдем точку пересечения прямой и плоскости : 
. Для этого решим систему уравнений прямой и плоскости:
3). Через две точки и 
проведем прямую L: 
.
Задача 8. Найти проекцию точки на плоскость : .
Решение.
а) Найдем прямую , проходящую через точку 
и перпендикулярную плоскости :
.
б) Найдем точку пересечения прямой L и плоскости : 
(см. задачу 6).
Точка М 1 – это искомая проекция.
Задача 9. Найти проекцию точки 
на прямую : .
Решение.
а) Проводим плоскость : , 
.
: .
б) 
– это искомая проекция.
Задача 10. Найти проекцию прямой : 
на плоскость .
а) Через прямую проводим плоскость 
: 
. Используем условие компланарности трех векторов: 
.
После преобразований получим общее уравнение плоскости 
.
б) Искомая прямая задается пересечением двух плоскостей: и 
: 
Осталось привести уравнение к каноничному виду.
Задача 11. Найти расстояние от точки до прямой .
а) Найти точку 
– проекцию точки на прямую .
б) Длина вектора 
– это искомое расстояние.
Задача 12. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми и .
а) Через прямую проводим плоскость : 
.
б) Находим расстояние от любой точки 
до .
