Задача 1. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку и перпендикулярной заданной прямой : .
Кратко: -?: , .
Решение.
Т.к. , то нормалью к плоскости можно считать направляющий вектор прямой: = . Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку.
: .
Задача 2. Найти уравнение плоскости , проходящей через заданную прямую : и точку .
Кратко. -?: , .
По условию задачи нам известны две точки, лежащие в плоскости: , , и вектор , параллельный плоскости. Произвольная точка будет принадлежать плоскости, если векторы будут компланарны:
.
Это и есть уравнение искомой плоскости. Раскрыв определитель, можно получить общее уравнение плоскости.
Задача 3. Построить плоскость , проходящую через две заданные параллельные прямые : и : .
-?: , , .
Эта задача может решаться аналогично предыдущей. Известны две точки и , лежащие в плоскости, и вектор ( или ), параллельный плоскости. Произвольная точка будет принадлежать плоскости, если выполняется условие компланарности трех векторов:
|
|
– это уравнение искомой плоскости.
Аналогично решается задача построения плоскости , проходящей через две пересекающиеся прямые.
Задача 4. Найти уравнение прямой , проходящей через заданную точку и перпендикулярной плоскости :
Решение. Так как прямая L перпендикулярна плоскости , то ее направляющий вектор параллелен нормали к плоскости. Следовательно, нормаль к плоскости может служить направляющим вектором прямой L. Запишем каноническое уравнение прямой:
.
Задача 5. Построить прямую , перпендикулярную двум скрещивающимся прямым.
: и : ,
и проходящую через заданную точку .
Решение. Так как прямая L перпендикулярна к прямым L 1 и L 2, то ее направляющий вектор можно найти как векторное произведение направляющих векторов этих прямых:
.
Тогда можно составить каноническое уравнение искомой прямой:
.
Задача 6. Найти точку пересечения прямой : и плоскости .
Решение. Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить совместно уравнения прямой и плоскости :
Для этого приведем уравнение прямой к параметрическому виду:
(*)
и подставим выражения в уравнение плоскости.
Решим полученное уравнение с одной неизвестной t, а найденное значение подставим в (*). Полученные значения будут координатами искомой точки пересечения.
Задача 7. Через точку провести прямую, перпендикулярную заданной прямой : .
Решение.
1). Сначала через точку проведем плоскость , перпендикулярную прямой :
.
2). Найдем точку пересечения прямой и плоскости : . Для этого решим систему уравнений прямой и плоскости:
3). Через две точки и проведем прямую L: .
|
|
Задача 8. Найти проекцию точки на плоскость : .
Решение.
а) Найдем прямую , проходящую через точку и перпендикулярную плоскости :
.
б) Найдем точку пересечения прямой L и плоскости : (см. задачу 6).
Точка М 1 – это искомая проекция.
Задача 9. Найти проекцию точки на прямую : .
Решение.
а) Проводим плоскость : , .
: .
б) – это искомая проекция.
Задача 10. Найти проекцию прямой : на плоскость .
а) Через прямую проводим плоскость : . Используем условие компланарности трех векторов: .
После преобразований получим общее уравнение плоскости .
б) Искомая прямая задается пересечением двух плоскостей: и :
Осталось привести уравнение к каноничному виду.
Задача 11. Найти расстояние от точки до прямой .
а) Найти точку – проекцию точки на прямую .
б) Длина вектора – это искомое расстояние.
Задача 12. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми и .
а) Через прямую проводим плоскость : .
б) Находим расстояние от любой точки до .