Смешанное произведение векторов

Пример 1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Решение. Найдем смешанное произведение векторов . Согласно формуле (3.35) имеем:

.

Найдем объем параллелепипеда по формуле (3.36)

.

Пример 2. Проверить, компланарны ли векторы , и .

Решение. Воспользуемся свойством 4 смешанного произведения. Найдем трех векторов с координатами .

Значит векторы компланарны.

Пример 3. Доказать, что точки лежат в одной плоскости.

Решение. Достаточно показать, что три вектора и компланарны. Найдем координаты векторов

Проверим условие компланарности векторов

Значит, векторы компланарны, а точки лежат в одной плоскости.

Пример 4. Дана пирамида с вершинами .

Вычислить длину высоты, опущенной из вершины .

Решение. Используем известную формулу , откуда . Для нахождения и воспользуемся свойствами векторного и смешанного произведения векторов

, .

Вычислим координаты векторов и их произведения:

.

Высота пирамиды:

.