А10. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанного произведения, т.е.
V.
Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный, т.е.
,
V.
Для доказательства достаточно применить доказательство свойства Г20 к и к
. Параллелепипед будет тот же, только за основание будет принята другая грань (в первом случае – построенная на векторах
и
, во втором – на векторах
и
).
Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А10 векторного умножения, а затем совершить циклическую перестановку:
.
А20.
V
.
Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства:
;
;
.
Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
А30. ;
;
.
Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
Замечание. Смешанное произведение .
, т.к.
.
Теорема 1(смешанное произведение в координатах). Если ,
,
в базисе
,
,
, то
.
.