III признак равенства треугольников

II признак равенства треугольников

(по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Δ АВС, Δ А ₁ В ₁ С ₁

АВ = А ₁ В ₁, ,

Доказать: Δ АВС =Δ А ₁ В ₁ С ₁

Доказательство:

Используем способ наложения.

Так как стороны АВ и А₁В₁ равны, то совпадут точки А и А₁; В и В₁.

Так как равны углы А и А₁, то совпадут лучи АС и А₁С₁.

Так как равны углы В и В₁, то совпадут лучи ВС и В₁С₁.

Треугольники АВС и А₁В₁С₁ совместятся, значит, они равны.

III признак равенства треугольников

(по трем сторонам).

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Δ АВС, Δ А ₁ В ₁ С ₁

АВ = А ₁ В ₁, АС = А ₁ С ₁, СВ = С ₁ В ₁

Доказать: Δ АВС =Δ А ₁ В ₁ С ₁

Доказательство:

Приложим треугольник А₁В₁С₁ к АВС.

1 случай:

луч СС₁ проходит внутри угла А₁С₁В₁.

А₁С₁С – р/б, т.к. АС=А₁С₁. Значит, равны углы 1 и 2.

В₁С₁С – р/б, т.к. СВ=С₁В₁. Значит, равны углы 3 и 4.

Поэтому равны углы А₁СВ₁ и А₁С₁В₁

Треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Случай

луч СС₁ совпадает с одной из сторон треугольника.

Р-м ΔСАС₁ – р/б, т.к. АС=АС₁ АСС₁ = АС₁С.

Р-м ΔАВС и ΔА₁В₁С₁

АС=А₁С₁ (по условию) | ΔАВС = ΔА₁В₁С₁

ВС=В₁С₁ (по условию) | (по двум сторонам и

АСС₁ = АС₁С | углу между ними)

Случай

ВС₁С – р/б, т.к. СВ=С₁В₁. ВСС₁ = ВС₁С.

АС₁С – р/б, т.к. АС=А₁С₁. АСС₁ = АС₁С.

Поэтому равны АСВ = АС₁В.

АС=А₁С₁ (по условию) | ΔАВС = ΔА₁В₁С₁

ВС=В₁С₁ (по условию) | (по двум сторонам и

АСВ = АС₁В | углу между ними)

Теорема доказана.