Прямая перпендик к плоскости если она перпендик к любой прямой лежащей в этой плоскости
Теорема: если одна из двух || прямых перпендик к плоскости то и другая прямая перпендик к этой плоскости
Док-во:
Рассмотрит 2 || прямые а и а1 и плоскость альфа так что а перпендик альфа
Докажем что и а1 перпендик альфа
Проведем какую нибудь прямую х в плоскости альфа. Так как а перпендик альфа то а перпендик х. По лемме о перпендикулярности 2ух || прямых к третьей а1 перпендик х
Таким образом а1 перпендик к любой прямой лежащей в плоскости альфа а1 перпендик альфа
Доказано
Теорема: если 2 прямые перпендик то они ||
Рассмотрим а и b перпендик к плоскости альфа. Докажем что а||b
Через какую нибудь точку М прямой b проведем b1 параллельную а. По предыдущей теореме b1 перпендик альфа. Докажем что b1 совпадает с b
Допустим что они не совпадают тогда в плоскости бета содержащей эти прямые через точку М проходят 2 прямые перпендик с по которой пересекаются альфа и бета это невозможно значит b и b1 совпадают а значит а||b
Доказано
|
|
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема:
Если прямая перпендик к двум пересек прямым лежащим в плоскости то она перпендик к этой плоскости
Там большое докозательство я пишу на телефоне так что позже капельку напишу.
Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости
Теорема:
Через любую точку пространства проходит прямая перпендикулярная к данной плоскости и при том только одна
26.Перпендикуляр и наклонная.
Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка.
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.
Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
AB – перпендикуляр к плоскости α.
AC – наклонная, CB – проекция.
Угол между прямой и плоскостью.
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Если прямая перпендикулярна к плоскости, то её проекцией на эту плоскость является точка персечения этой прямой с плоскостью. В таком случае угол между прямой и плоскостью считается раным 90.
|
|
Если прямая параллельна плоскости, то её проекцией на плоскость является прямая,параллельная данной.В этом случае понятие угла между прямой и плоскостью мы не вводим. (Иногда договариваются считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью равен 0).
27.Двугранный угол
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей граицей а, не принадлежащими одной плоскости.
Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями.
Прямая а- общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного угла.
Двугранные углы измеряются линейным углом.
Линейный угол -это угол образованный пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.
Двугранный угол называется прямым(острым, тупым), если он равен 90(меньше 90,больше 90).
28. Синус и косинус суммы и разности аргументов.
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny,
cos(x+y)=cosxcosy-sinxcosy.
Эти формулы обычно называют синус суммы и косинус суммы.
Рассмотрим выражение sin(x-y). Если переписать его в виде sin(x+(-y)), то появляется возможность применить формулу суммы для аргументов x и –y:
sin(x+(-y))=sinxcos(-y)+cosxsin(-y). (1)
А теперь воспользуемся тем,что
cos(-y)=cosy, sin(-y)=-siny.
Это позволит правую часть равенства (1) переписать в виде sinxcosy-cosxsiny.
Таким образом, получилась формула синуса разности:
sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny.
Аналогичные рассуждения позволяют вывести формулу косинуса разности:
cos(x-y)=cos(x+(-y))=cosxcos(-y)-sinxsin(-y)=cosxcosy+sinxsiny.
Итак, cos(x-y)= cosxcosy+sinxsiny.
29.Тангенс суммы и разности аргументов.
tg(x+y)=tgx+tgy/1-tgxtgy
tg(x-y)=tgx-tgy/1+tgxtgy.
При этом предполагается, что все тангенсы имеют смысл, т.е. что x≠π/2+πn, y≠π/2+πk,
x+y≠π/2+πm(для первой формулы), x-y≠π/2+πm(для второй формулы).
P.S Там ещё в конце этого параграфа есть док-во, но там пипеец..
30. Формулы двойного аргумента
Тригонометрические формулы, позволяющие выразить sin 2x, cos 2x, tg 2x через sin x, cos x, tg x формулами двойного аргумента.
1.Рассмотрим выражение sin 2x, представив при этом 2х в виде х+х (применяя к выражению формулу синуса суммы):
Sin 2x =sin(x+x)=sinx*cosx+cosx*sinx= 2sinx*cosx
Таким образом,
Sin 2x=2sinx*cosx
2.Рассмотрим выражение cos 2x, представив при этом 2х в виде х+х (применяя формулу косинуса суммы):
Cos 2x =cos(x+x)=cosx*cosx-sinx*sinx= cos2x-sin2x
Таким образом,
Cos 2x =cos2x-sin2x
3. аналогично рассмотрим tg 2x:
tg х + tg х 2 tg х
tg 2x = tg (x + х) = —————— = —————
1 – tg х tg х 1 – tg2 х
Таким образом,
Tg х
tg 2x = —————
Tg2 х
Другие формулы двойного аргумента:
sin 2x | = | 2tg x | = | 2ctg x | = | ||||||||
1 + tg2 x | 1 + ctg2 x | tg x + ctg x | |||||||||||
cos 2x | = | 1 - tg2 x | = | ctg2 x - 1 | = | ctg x - tg x | |||||||
1 + tg2 x | ctg2 x + 1 | ctg x + tg x | |||||||||||
tg 2x | = | 2tg x | = | 2ctg x | = | |
1 - tg2 x | ctg2 x - 1 | ctg x - tg x |
ctg 2x | = | ctg2 x - 1 | = | ctg x - tg x |
2ctg x | ||||
31.Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение
Теорема. Для любых и справедливы равенства
Доказательство. Все четыре формулы доказываются преобразованием правой части в сумму
32. Преобразование произведения тригонометрических функций в суммы
33. Параллелепипед
Параллелепипед - призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.