double arrow

Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

· Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники;

· Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани — параллелограммы;

· Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

· Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

· Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

· Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

· Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений

Основные формулы

Прямой параллелепипед

· Площадь боковой поверхности Sбо*h, где Ро — периметр основания, h — высота

· Площадь полной поверхности Sп=Sб+2Sо, где Sо — площадь основания

· Объём V=Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

· Площадь боковой поверхности Sб=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

· Площадь полной поверхности Sп=2(ab+bc+ac)

· Объём V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

· Площадь боковой поверхности S=6*h2, где h – высота ребра куба

34. Тетраэдр — правильный многогранник, имеет 4 грани, которые являются правильными треугольниками. Вершин у тетраэдра 4, к каждой вершине сходится 3 ребра, а всего ребер 6. Также тетраэдр является пирамидой.

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями (АОС, ОСВ, ACB, AOB), их стороны --- ребрами (AO, OC, OB), а вершины --- вершинами (A, B, C, O) тетраэдра. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными... Иногда выделяют одну одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие --- боковыми гранями.

Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники. При этом правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида – это не одно и то же.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.

35. Правильная призма

Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой. Грани, отличные от оснований, называются боковыми гранями, а их ребра называются боковыми ребрами. Все боковые ребра равны между собой как параллельные отрезки, ограниченные двумя параллельными плоскостями. Все боковые грани призмы являются параллелограммами. Соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны. Прямой называется призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются наклонными. В основании правильной призмы лежит правильный многоугольник. У такой призмы все грани – равные прямоугольники.

Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности. Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром плоскостей, в которых лежат основания призмы. Высота призмы есть расстояние H между плоскостями оснований.

Площадью боковой поверхности S б призмы называется сумма площадей ее боковых граней. Площадью полной поверхности S п призмы называется сумма площадей всех ее граней. S п = S б + 2 S,где S – площадь основания призмы, S б – площадь боковой поверхности.

36. Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, – многоугольник,
а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Грани, отличные от основания, называются боковыми.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.
Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает ее на подобную пирамиду и усеченную пирамиду.

Свойства правильных пирамид

  • Боковые ребра правильной пирамиды - равны.
  • Боковые грани правильной пирамиды - равные друг другу равнобедренные треугольники.

Если все боковые ребра равны, то

·высота проектируется в центр описанной окружности;

·боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то

·высота проектируется в центр вписанной окружности;

·высоты боковых граней равны;

·площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани

37. Функцию y=f(x), где x принадлежит множеству натуральных чисел, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью. Обозначают ее y=f(n), или (yn)

Последовательности можно задавать различными способами, словесно, так задается последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11 и т.д

Считают, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена:

1) yn = n2

1, 4, 9, 16, …, n2, …

2) yn = C. Такую последовательность называют постоянной или стационарной. Например:

2, 2, 2, 2, …, 2, …

3) yn=2n. Например,

2, 22, 23, 24, …, 2n, …

Последовательность называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Иными словами, последовательность можно назвать ограниченной, если есть такое число М, что выполняется неравенство yn меньше или равно M. Число М называют верхней границей последовательности. Например последовательность: -1, -4, -9, -16, …, - n2; ограничена сверху.

Аналогично, последовательность можно назвать ограниченной снизу, если все ее члены больше некоторого числа. Если последовательность ограничена и сверху и снизу она называется ограниченной.

Последовательность называют возрастающей, если каждый ее последующий член больше предыдущего.

Последовательность называют убывающей, если каждый ее последующий член меньше предыдущего. Возрастающие и убывающие последовательности определяют одним термином – монотонные последовательности.

Рассмотрим две последовательности:

1) yn: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …

2) xn: 1, ½, 1/3, 1/ 4, …, 1/n, …

Если мы изобразим члены этой последовательности на числовой прямой, то заметим что, во втором случае члены последовательности сгущаются вокруг одной точки, а в первом случае такого нет. В подобных случаях говорят, что последовательность yn расходится, а последовательность xn сходится.

Число b называют пределом последовательности yn, если в любой заранее выбранной окрестности точки b, содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

В данном случае мы можем написать:

Если частное прогрессии по модулю меньше единицы, то предел этой последовательности, при х, стремящимся к бесконечности равен нулю.

Если последовательность сходится, то только к одному пределу

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Теорема Вейерштрасса: Если последовательность монотонно сходится, то она ограничена.

Предел стационарной последовательности равен любому члену последовательности.

Свойства:

1) Предел суммы равен сумме пределов

2) Предел произведения равен произведению пределов

3) Предел частного равен частному пределов

4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела

Вопрос 38
сумма бесконечной геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел b1, b2, b3,.. (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии), где b1≠0, q≠0.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии.

Говоря иначе, какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии.

Не любая геометрическая прогрессия имеет такую предельную сумму. Она может быть только у такой прогрессии, знаменатель которой – дробное число меньше 1.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

b1 S = ———— 1 – q b1 – первый член геометрической прогрессии; q – знаменатель прогрессии; |q| < 1.

Вопрос39
Определение:
производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть

· Вычисление производных


·

·

· [2]

· [3]

·

· …(g ≠ 0)

· ;

· (sin x)' = cos x;

· (cos x)' = - sin x;

· ;

· ;

· ;

· ;


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: