2015-04-12
2914
При разложении рациональной дроби на простейшие нужно найти неизвестные коэффициенты. Для этого простейшие дроби, стоящие в правой части равенств (1.4.5), (1.4.6), (1.4.7), (1.4.8), приводят к общему знаменателю. Тождественность этих равенств будет в том случае, если у них многочлены, стоящие в числителях слева и справа, будут равны. Поэтому у этих многочленов приравнивают числовые коэффициенты при одинаковых степенях х. Из полученной системы уравнений находят неизвестные коэффициенты.
Пример 7. Разложить на простейшие дроби:
Знаменатель дроби имеет 4 корня: х 1 = 0, х 2,3,4 = 1, следовательно, данную дробь можно представить как сумму 4-х простейших дробей:
.
Приведем простейшие дроби в правой части равенства к общему знаменателю:
или
.
Приравниваем числовые коэффициенты при одинаковых степенях х и у многочленов, стоящих в числителе слева и сплава.
| х 3 | 1 = А + В |
| х 2 | 0 = –3 А – 2 В + С |
| х 1 | 0 = 3 А + В – С + D |
| х 0 | 1 = – А |
Из полученной системы уравнений находим неизвестные коэффициенты:
|
|
|
А = –1, В = 2, С = 1, D = 2.
Дробь разлагается на простейшие:
.
Пример 8. Разложить на простейшие дроби
Найдем корни многочлена, стоящего в знаменателе:
x (х 2 + 5 x + 6) = 0; x 1 = 0; x 2 = –2; x 3 = –3.
Данная дробь равна сумме трех простейших дробей:
.
Приведем эти дроби к общему знаменателю
.
Освобождаясь от знаменателя, получим
3 х + 2 = А (х + 2)(х + 3) + Вх (х + 3) + Сх (х + 2).
В данном случае все три корня действительные и различные. Поэтому коэффициенты А, В, С можно найти другим способом. Подставим по очереди в последнее равенство значения всех трех корней:
| х = 0; | 2 = 6 А; | 
|
| х = –2; | –4 = –2 В; | В = 2 |
| х = –3; | –7 = 3 С; | 
|
Дробь разлагается на простейшие:
.
Задачи для самостоятельного решения. Разложить на простейшие дроби:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
.
Практическое занятие 1.5. Интегрирование простейших дробей и рациональных функций
1.5.1. Интегрирование простейших дробей
Как уже отмечалось, рациональная функция – это отношение двух многочленов. Если она является неправильной дробью, то ее всегда можно представить в виде целой части (многочлена) плюс правильная рациональная дробь. В свою очередь правильную рациональную дробь, в зависимости от того, какие корни имеет многочлен знаменателя, разлагают на простейшие дроби 4-х видов:
Интегралы от простейших дробей всех 4-х видов выражаются через элементарные функции:
Интеграл вида 
находят путем выделения полного квадрата в знаменателе, в результате он сводится к табличному.
Пример 1. Найти интеграл 
.
Решение. Вынесем в знаменателе 2 за скобку и выделим полный квадрат:
;
= 
= 
=
.
Пример 2. Найти интеграл 
Решение. Выделяем в знаменателе полный квадрат:
|
|
|
x 2 + 6 x – 9 = 
.
и вводим новую переменную t = x + 3.
= 
= 
=
= 
= 
= 
=
= 
= 
Метод нахождения интеграла 
основан на приемах, ведущих к понижению степени квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе. В общем случае вычисления очень громоздки, поэтому рассмотрим конкретный пример.
Пример 3. Вычислить интеграл:
Выделим в числителе производную от знаменателя, тогда интеграл разобьется на два:
.
Первый 
– является интегралом от степенной функции.
Второй 
вычислим отдельно.
Понизим степень знаменателя у 2-го интеграла следующим образом:
В числителе последнего интеграла прибавим и отнимем t2:
В результате интеграл J2 – снова разбился на два, один из которых является табличным, другой можно взять по частям:
Итак: 
Подставим найденное значение J2 в исходное выражение, окончательно получим:
1.5.2. Интегрирование рациональных функций
Чтобы найти интеграл от рациональной дроби 
нужно:
1. выделить целую часть, если рациональная функция является неправильной дробью;
2. у полученной правильной дроби найти корни многочлена, стоящего в знаменателе и по виду найденных корней записать правильную дробь в виде суммы простейших дробей с неизвестными коэффициентами;
3. найти неопределенные коэффициенты у простейших дробей;
4. проинтегрировать целую часть и простейшие дроби.
Пример 4. Вычислить интеграл
У рациональной функции, стоящей под знаком интеграла, степень многочлена числителя больше степени многочлена знаменателя.
Дробь неправильная, поэтому выделим целую часть:
| х 4 – 6 х 3 + 12 х 2 + 6 | х 3 – 6 х 2 + 12 х – 8 |
| х 4 – 6 х 3 + 12 х 2 – 8 х | х |
| +8 х + 6 |
Тогда исходный интеграл можно записать в виде:
Знаменатель полученной правильной дроби, стоящий под знаком второго интеграла, имеет действительные кратные корни. Дробь разлагается на простейшие вида:
Чтобы найти коэффициенты А, В, С приведем простейшие дроби к общему знаменателю
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х у многочленов, стоящих в числителе слева и справа, получим:
| х 2 | 0 = А | А = 0 |
| х 1 | 8 = –4 А + В | В = 8 |
| х 0 | 6 = 4 А – 2 В + С | С = 22 |
проинтегрируем простейшие дроби.
Подставляя в исходный интеграл, окончательно получим:
Пример 5. Найти 
.
Решение. Дробь правильная, разложим знаменатель на множители так:
x 3 – 4 x = 0; x (x 2 – 4) = 0; x (x – 2)(x + 2) = 0;
x 3 – 4 x = x (x – 2)(x + 2).
Получили три множителя первой степени, соответствующие корням: 0, 2 и –2, каждый корень кратности 1.
Дробь разлагается на простейшие:
Умножим обе части разложения на общий знаменатель x (x – 2)(x + 2).
В результате получим
1.5.1.
Общий знаменатель имеет три действительных корня. Подставляя каждый из них в левую и правую части равенства 1.5.1, найдем значения неизвестных коэффициентов А, В и С.
| x = 0, | 9×02 – 2×0 – 8 = A (0 – 2)(0 + 2) + B ×0×(0 + 2) + C×0×(0 – 2); –8 = –4 A Þ A = 2 |
| x = 2 | 9×22 – 2×2 – 8 = A ×(2 – 2)×(2 + 2) + B ×2×(2 + 2) + C ×2×(2 – 2), 9×4 – 4 – 8 = 0× A + 8× B + 0× C; 24 = 8 B Þ B = 3 |
| x = –2 | 9×(–2)2 – 2×(–2) – 8 = = A ×(–2 – 2)×(–2 + 2) + B ×(–2)×(–2 + 2) + C×(–2)×(–2 – 2); 9×4 + 4–8 = A ×0 + B ×0 + C×8; 32 = 8 C Þ C = 4 |
Итак: А = 2, В = 3, С = 4.
Эти же коэффициенты можно было получить другим способом.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, в равенстве (1.5.1) получим систему уравнений:
| х 2 | 9 = А + В + С |
| х 1 | –2 = В .2 + С .(–2) |
| х 0 | –8 = А .(–4) |
Решая эту систему, находим те же значение коэффициентов
А = 2; В = 3; С = 4.
При решении обычно комбинируют оба метода.
Заменяя под знаком интеграла дробь ее разложением на простейшие дроби и находя интегралы, последовательно получаем
= 
= 
=
= 
=
= 2×ln| x | + 3×ln| x – 2| + 4×ln| x + 2| + c.
Пример 6. Найти 
.
Решение. Знаменатель не имеет действительных корней, то есть разложен на множители второй степени.
|
|
|
Разложение подынтегральной дроби на простейшие имеет вид:
.
Умножив обе части полученного равенства на общий знаменатель 
, получаем:
3 x 2 + 5 x + 12 = (Ax + B)(x 2 + 1) + (Cx + D)(x 2 + 3).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, будем иметь:
| х 3 | 0 = А + С |
| х 2 | 3 = В + D |
| х 1 | 5 = A + 3 C |
| х 0 | 12 = B + 3 D |
Решая систему, получаем: 
Интегрируя, находим:
= 
=
= 
=
= 
=
= 
=
= 
=
= 
Пример 7. Найти 
.
Решение. Так как 
есть двукратный множитель, то
= 
.
Освобождаясь от знаменателей, получим
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
| х 3 | 1 = С |
| х 2 | 0 = D |
| х 1 | –2 = A + C |
| х 0 | 0 = B + D |
Решая систему получаем: A = –3, B = 0, C = 1, D = 0.
Следовательно,
= 
= 
+
+ 
= 
.
Заметим, что данный интеграл можно было найти проще с помощью подстановки 
.
Пример 8. Найти интеграл 
.
Решение. Так как подынтегральная функция является правильной дробью, то ее следует сразу представить в виде суммы простейших дробей. Легко видеть, что многочлен 
обращается в нуль при х =–1, поэтому он делится без остатка на х +1.
Выполним деление:
| x 3 + 6 x 2 + 11 x + 6 | x + 1 |
| x 3 + x 2 | x 2 + 5 x + 6 |
| 5 x2 + 11 x | |
| 5 x 2 + 5 x | |
| 6 x + 6 | |
| 6 x + 6 | |
Следовательно,
x 3 + 6 x 2 + 11 x + 6 = (x + 1)(x 2 + 5 x + 6) = (x + 1)(x + 2)(x + 3);
.
Освобождаясь от знаменателей, получим
x + 4 = A (x + 2)(x + 3) + B (x + 1)(x + 3) + C (x + 1)(x + 2).
Полагая х = –1, найдем 3 = 2 A, т.е. A = 
. Если х = –2, то получим
2= – B, т.е. B = –2. При х = –3 получим 1 = 2 С, т.е. С = 
.
Итак,
= 
=
= 
.
Пример 9. Найти интеграл 
.
Решение. Выделим целую часть данной неправильной рациональной дроби:
| x 3 + 3 x 2 + 5 x + 7 | x 2 + 2 |
| x 3 + 2 x | x + 3 |
| 3 x 2 + 3 x + 7 | |
| 3 x 2 + 6 | |
| 3 x + 1 |
Итак,
.
Отсюда находим
= 
= 
+
+ 
= 
=
= 
.
Пример 10. Найти интеграл 
.
Решение. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью и можно было бы найти интеграл, представив эту дробь в виде суммы простейших дробей. Однако нахождение интеграла можно значительно упростить, если произвести замену переменной х – 1 = t; тогда x = t + 1 и dx = dt. В результате получаем
= 
= 
= 
=
= 
= 
=
= 
.
Иногда перед интегрированием рациональной дроби следует произвести замену переменной.
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения. Найти интегралы:
134.  ;
| 135.  ;
|
136.  ;
| 137.  ;
|
138.  ;
| 139.  ;
|
140.  ;
| 141.  ;
|
142.  ;
| 143.  ;
|
144.  ;
| 145.  ;
|
146.  ;
| 147.  ;
|
148.  ;
| 149.  ;
|
150.  ;
| 151.  ;
|
152.  ;
| 153.  ;
|
154.  ;
| 155.  ;
|
156.  ;
| 157.  ;
|
158.  ;
| 159.  ;
|
160.  ;
| 161.  ;
|
