Деление многочлена на многочлен

Два многочлена с действительными коэффициентами делят друг на друга по правилам, похожим на правила деления действительных чисел. Рассмотрим эту операцию на примере.

Пример 1. Разделим многочлен на многочлен

x 7 + 2 х 6 + 3 х 3	х 2 + 2 х
x 7 + 2 х 6	х 5 + 3 х – 6
0 + 0
3 х 3
	3 х 3 + 6 х 2
	0 – 6 х 2
	– 6 х 2 – 12 х
	0 + 12 х

Многочлен - называют делителем,

Многочлен - частное,

Многочлен - остаток.

Задачи для самостоятельного решения. Разделить многочлен Р (х) на многочлен Q(x):

1. Р (х) = х 4 + 3 х 2 + 4;	Q (x) = x 2 – 3 x + 5
2. Р (х) = х 8 + х 7 – 3 х 4;	Q (x) = x 3 + 2 x 2
3. Р (х) = х 5 + х 4 – 8;	Q (x) = x 3 – 4 x

1.4.1. Разложение многочлена на множители

Любой многочлен степени n имеет n -корней (действительных или комплексных) и его можно представить в виде произведения n -линейных сомножителей вида:

Р_n (х) = b_n (x – z ₁) (x – z ₂) (x – z ₃)… (x – z_n), (1.4.1)

где z ₁, z ₂, z ₃ … z_n – корни многочлена.

Если корни многочлена действительные и различные числа а ₁, а ₂, а ₃ … а_n, то он разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами

Р_n (х) = b_n (x – а ₁) (x – а ₂) (x – а ₃)… (x – а_n). (1.4.2)

Когда в разложении (1.4.1) есть комплексный корень z = a + b i, то сопряженное ему комплексное число z = a – b i также будет корнем многочлена Р (х). Поэтому в разложении многочлена на линейные множители комплексные корни входят попарно сопряженными. Произведение таких двух сомножителей дает квадратный трехчлен с действительными коэффициентами:

где р = –2a, q = a² + b².

В этом случае разложение многочлена Р (х) будет содержать линейные множители вида (х – а), соответствующие действительным корням, и квадратичные (х ²– рх+ q), соответствующие паре сопряженных комплексных корней:

Р_n (х) = b_n (x – а ₁) … (x – а_k) (x ² + p ₁ x + q ₁)… (x ² + p_t x + q_t). (1.4.3)

при этом k + 2 t = n.

Некоторые действительные корни могут быть равными. Если их k, то все такие сомножители можно объединить в одну скобку и записать как
(х – а) ^k.

Корень х = а называют корнем кратности k.

Среди квадратных множителей х ² + рх + q тоже может встретиться t одинаковых, объединяя в одну скобку, их можно записать в виде (х ² + рх + q) ^t – кратности t.

В результате разложение многочлена примет вид

Р_n (х) = (x – а) ^k … (x ² + px + q) ^t. (1.4.4)

Пример 2. Разложить на множители Р (х) = х ⁵ – 5 х ³ + 4 х.

Решение. Многочлен имеет пять корней. Найдем корни уравнения:

х (х ⁴ – 5 х ² + 4) = 0.

Первый корень х ₁ = 0. Чтобы найти остальные четыре корня, решим биквадратное уравнение:

х ⁴ – 5 х ² + 4 = 0; x ² = t; t ² – 5 t + 4 = 0

D = 25 – 16 = 9; t ₁ = 4; t ₂ = 1.

Отсюда х ₂ = 2, х ₃ = –2, х ₄ = 1, х ₅ = –1.

Корни многочлена действительные и различные, следовательно

х ⁵ – 5 х ³ + 4 х = (х – 0) (х – 2) (х + 2) (х – 1) (х + 1).

Пример 3. Разложить на множители Р (х) = х ³ – 3 х ² + 4.

Решение. Найдем корни уравнения х ³ – 3 х ² + 4 = 0.

При решении подобных уравнений есть правило: если коэффициент при старшей степени равен единице, тогда целые корни такого многочлена, обязательно являются делителями свободного члена.

Число 4 делится на ± 1; ± 2; ± 4. Подставляем эти числа в уравнение: х ₁ = –1; х ₂ = 2 являются корнями. Для отыскания третьего корня используем правило кратности корня: если х = а является корнем кратности k многочлена Р (х), то Р (а) = Р' (а) = Р "(а) = … Р ^{( k – 1)}(а) = 0; но Р ^{( k )}(а) ≠ 0.

Производная (х ³ – 3 x ² + 4)' = 3 х ² – 6 х обращается в нуль при х = 2, т.е.
х = 2 двухкратный корень. Значит многочлен разлагается на множители

х ³ – 3 х ² + 4 = (х + 1) (х – 2)².

Пример 4. Разложить на множители Р (х) = х ⁴ – 16.

Решение. Многочлен имеет четыре корня. Запишем его в виде

Р (х) = (х ² – 4) (х ² + 4) = (х + 2) (х – 2) (х ² + 4) первые два корня действительные х ₁ = –2; х ₂ = 2; третий и четвертый комплексные:

х 2 + 4 = 0;

х 2 = –4;

Отсюда разложение многочлена:

х ⁴ – 16 = (х + 2) (х – 2) (х ² + 4).

Задачи для самостоятельного решения. Разложить на множители:

1. Р (х) = х ³ – х ² + х – 1

2. Р (х) = х ⁴ – 6 х ² + 8

3. Р (х) = х ³ – 6 х ² + 12 х – 8.

1.4.2 Разложение рациональной функции на простейшие дроби

Определение. Отношение двух многочленов называют рациональной функцией или рациональной дробью:

.

Если m ≥ n, то дробь неправильная.

Если m < n, то дробь правильная.

В случае неправильной дроби выделяют целую часть (многочлен Р (х) делят на многочлен Q (x)) в результате рациональная функция разбивается на две – целую часть (многочлен) и правильную рациональную дробь.

Правильную рациональную дробь можно разложить на простейшие дроби 4-х видов в зависимости от того, какие корни имеет многочлен Q (x), стоящий в знаменателе.

1. Если все корни многочлена Q (x) действительные и различные, то дробь равна сумме простейших дробей такого вида:

(1.4.5)

т.е. каждому действительному корню знаменателя соответствует одна простейшая дробь.

А ₁, А ₂, …, А_n – неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

Хотелось бы обратить особое внимание на форму записи простейших дробей: эти дроби должны быть правильными, т.е. степень многочлена числителя должна быть на единицу меньше степени многочлена знаменателя. Поскольку у простейших дробей знаменатели являются многочленами 1-й степени, то в числителе стоят числа А ₁, А ₂ … А_n (многочлены нулевой степени).

2. Если многочлен знаменателя Q (x) имеет кратные действительные корни, то рациональную дробь разлагают на простейшие дроби вида:

. (1.4.6)

Во втором случае, как и в первом, число простейших дробей равно числу корней знаменателя, не смотря на то, что корень х = а ₂ повторяется k -раз. В числителе всех простейших дробей также стоят многочлены 0-ой степени с неизвестными коэффициентами А ₁, В ₁, … В_k.

Пример 5. Представить в виде суммы простейших дробей рациональную дробь:

.

Знаменатель имеет 4 корня: из них корень х = –2 повторяется дважды. Поэтому дробь разлагается на четыре простейшие с неизвестными коэффициентами вида:

.

3. Если многочлен знаменателя Q (x) имеет комплексные корни, т.е. разлагается на квадратичные сомножители, то дробь представляют сумной простейших дробей:

(1.4.7)

В третьем случае каждой паре сопряженных комплексных корней знаменателя соответствует одна простая дробь, поэтому число простейших дробей в два раза меньше, чем корней. Далее, у простейших дробей в знаменателе стоят многочлены 2-ой степени, следовательно, в числителе должны быть многочлены 1-ой степени с неизвестными коэффициентами А ₁, А ₂ … А_{n /2}; В ₁, В ₂ … В_{n /2}.

4. И наконец, если корни знаменателя комплексные и среди них есть кратные, то правильную рациональную дробь разлагают на простейшие вида:

. (1.4.8)

Пример 6. Представить в виде суммы простейших дробей:

.

Задачи для самостоятельного решения. Представить в виде суммы простейших дробей:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .