Двойной интеграл по плоской области D, от заданной на ней функции записывают так:
(2.3.1)
где ds – мера бесконечно малых элементов области D. Вычисление двойного интеграла сводят к последовательному вычислению двух линейных интегралов по переменным x и y.
При этом область D должна быть правильной.
Область D называют правильной, если прямые, параллельные координатным осям, пересекают ее границу не более чем в двух точках (рис. 2.3.1,а). Неправильную область можно разбить на части и представить как объединение правильных областей, например D 1 и D 2 (рис. 2.3.1,б).
|
Плоскую область D правильной формы считают заданной, если известны уравнения ограничивающих ее линий.
Напомним, что элементарные части (элементарные области), на которые разбивают область D при составлении интегральной суммы, были обозначены в круглых скобках:
а их меры (площади) тем же символом без круглых скобок:
Найдем удобное выражение для меры элемента области – ds.
Для этого разобьем D на элементарные части прямыми, параллельными координатным осям (рис. 2.3.1,а). Тогда мера элементарной части будет равна площади прямоугольника:
|
|
и двойной интеграл (2.3.1) можно записать так:
(2.3.2)
Пусть уравнение линии, ограничивающей правильную область D известно. Найдем пределы изменения переменных х и у внутри этой области. Для этого спроектируем ее крайние точки А и В на ось Ох (рис.2.3.2). Получим отрезом [ a,b ], в пределах которого изменяется переменная х внутри D.
Далее, заметим, что точки А и В делят на две части линию, ограничивающую область D.
Пусть уравнения этих линий: у 1(х) и у 2(х), следовательно, переменная у внутри плоской области D изменяется от своих значений на линии у 1(х) до значений на линии у 2(х). В результате двойной интеграл (2.3.2) будет равен:
(2.3.3)
Из формулы (2.3.3) следует, что вычисление двойного интеграла свелось к последовательному вычислению двух линейных интегралов. Внутренний интеграл берут по переменной y, при этом x – считают постоянной. После нахождения первообразной и подстановки пределов во внутреннем интеграле остается одна переменная x, по которой вычисляют внешний интеграл.
Порядок интегрирования в выражении (2.3.3) можно менять местами. Чтобы внешний интеграл вычислялся не по x, как следует из формулы (2.3.3), а по переменной y, нужно область D спроектировать на ось Оy. Тогда проекции ее крайних точек дадут постоянные пределы во внешнем интеграле для y. Внутренний же интеграл следует вычислять по переменной x, при этом пределы у этой переменной будут зависеть от у.
Таким образом, у внешнего интеграла в обоих случаях пределы постоянны, они равны проекциям крайних точек области на соответствующую координатную ось.
|
|
Последовательное вычисление двух линейных интегралов называют двукратным интегрированием.
Следует отметить, что основная трудность при сведении двойного интеграла к двукратному заключается в расстановке пределов во внутреннем интеграле, которые в большинстве случаев переменные. Поэтому сначала строят область D и выбирают координатную ось, на которую проектируют область. Затем находят проекции (α,b) крайних точек области на эту ось и по чертежу определяют переменные пределы для внутреннего интеграла.
Пример 1. Расставить пределы изменения переменных х и у в двойном интеграле:
если область D ограничена линиями у 1 = х 2 и у 2 = 6 – х.
Решение. Спроектируем построенную область (рис. 2.3.3) на ось Ох.
Рис.2.3.3
Точки пересечения графиков функций у 1 = х 2 и у 2 = 6 – х есть крайние точки области.
Найдем их проекции из условия у 1 = у 2:
x 2 = 6 – x или x 2 + x – 6 = 0
Решая квадратное уравнение, получим:
.
Таким образом, переменная х в области D пробегает значения от –3 до 2, при этом вторая переменная у изменяется от своих значений на линии
у 1 = х 2 до значений на прямой у 2 = 6 – х.
Следовательно:
Пример 2. По заданной области расставить пределы
где D: = х2 + у2 < x
Решение. Область D ограниченаокружностью х 2 + у 2 – х = 0 со смещенным центром по оси Ох. Приведем уравнение окружности к каноническому виду. Выделяя полный квадрат по переменной х, получим:
Таким образом, радиус равен , центр смещен вправо на
(рис. 2.3.4). Переменная х внутри D изменяется от 0 до 1, вторая переменная у – от своих значений на нижней части окружности (уравнение которой ) до значений на её верхней части, т.е. до (уравнение окружности решено относительно у).
Расставляем пределы:
Рис. 2.3.4
Пример 3. Вычислить двойной интеграл
Решение. Пределы изменения переменных внутри области расставлены. Так как они постоянны, область D является прямоугольником со сторонами: по оси Ох от 0 до 1, по оси Оу – от 0 до 2. Вычислим внутренний интеграл по переменной х, считатя у – постоянной.
После подстановки пределов вместо переменной х осталась только вторая переменная у. Вычислим внешний интеграл по этой переменной:
Пример 4. Вычислить двойной интеграл от функции f(x,y) = x – y по области D, ограниченной линиями: y = x 2, y = x.
Рис. 2.3.5. |
Решение. Спроектируем построенную область на ось Oх (рис. 2.3.5). Точки пересечения графиков функций y = x 2 и y = x – есть крайние точки области. Найдем их проекции:
x 2 = x; x 1 = 0; x 2 = 1
Таким образом, внутри области D переменная x изменяется от 0 до 1. Пределы изменения второй переменной y будут зависеть от x. Чтобы найти их, проведем прямые параллельные оси Оy, пересекающие область D. Эти прямые для различных значений x входят в область на линии y = x 2 и выходят из области на линии y = x (Рис.2.3.5). Следовательно, переменная y внутри области изменяется от значений на линии y = x 2 до значений на линии y = x.
Подставляя вместо y верхний и нижний пределы, получим:
Как отмечалось выше, чтобы внешний интеграл вычислялся по переменной y, нужно область D спроектировать на ось Oy. Найдем проекции крайних точек области на эту ось:
(рис. 2.3.5).
Тогда значения переменной x в области D будут изменятся от ее значений на уравнении прямой x = y до ее значений на уравнении параболы, решенной относительно x: следовательно:
В обоих случаях результат вычислений один и тот же.
Пример 5. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями: y = x, y = 0, x + y = 2.
Решение. Область D изображена на рис. 2.3.6. Вид области указывает на то, что внешний интеграл удобнее взять по переменной y. Спроектируем область на эту ось и найдем проекции крайних точек
Рис. 2.3.6 |
Переменная x во внутреннем интеграле будет изменяться от своих значений на линии x = y до значений на линии т.е.:
|
|
Раскрывая скобки в интеграле, стоящем в правой части последнего равенства и приводя подобные, получим:
Если область D спроектировать на ось Oх (рис. 2.3.6), то двойной интеграл нельзя будет записать в виде одного двукратного интеграла. Область интегрирования D придется разбить на две части, так как на отрезке [0,1] оси Oх переменная y изменяется от 0 до своих значений на линии y = x, а на отрезке [1,2] – до значений на линии , в результате имеем:
Данный пример показывает, как важно вначале продумать порядок интегрирования.
Задачи для самостоятельного решения. По заданной области расставить пределы в интеграле
1. D: x ≥ 0, y≥ 0, x+ y≤ 1;
2. D: х2 + y2≤ 4;
D ограничена линиями:
3. у = х 2, х + у = 2, у = 0;
4. у = х 2, х + у = 2, х = 0;
5. у = 4 – х 2, у – х – 2 = 0;
6. у = х, у = 2, ху = 1;
7. у = х 2 – 4 х, у = х;
8. х 2 + у 2 = 4, у – х = 2, у = 0;
9. у = 4 х – х 2, у = х;
10. у = х 3, х = 2, у = –1.
Вычислить двойные интегралы:
D ограниченая линиями у = х, у = , х = 2;
D: у = х 2;
D: у = х 3, х = 2, у = –1;
D: у = х, у = 2 х, у = 1.
Практическое занятие 2.4. Тройной интеграл, расстановка пределов, вычисление в декартовой системе координат
Нужно найти значение тройного интеграла от функции трех переменных u = f (x,y,z) по пространственной области W с объемом V:
Рис. 2.4.1 |
(2.4.1)
где dv – мера элемента области (элементарный объем).
Будем считать, что пространственная область (тело) W ограничена одной замкнутой поверхностью, уравнение которой известно
z = z (x, y)
Как и в случае двойного интеграла найдем удобное выражение для меры элемента тела – dv. Для этого разобьем область W на элементарные части плоскостями, параллельными координатным плоскостям (рис. 2.4.1).
Тогда за dv можно принять объем параллелепипеда dv=dxdydz и тройной интеграл примет вид:
(2.4.2)
Вычисление тройного интеграла (2.4.1), подобно двойному, сводят к последовательному вычислению трех линейных интегралов по переменным x, y, z или к трехкратному интегрированию. Найдем пределы изменения переменных x, y, z в заданной пространственной области W (мы уже говорили, что область W считают заданной, если известно уравнение ограничивающей ее поверхности).
|
|
Спроектируем тело W на координатную плоскость xOy, в результате получим плоскую область D (рис. 2.4.2). При этом точки касания, проектирующего цилиндра и тела W образуют линию, которая делит поверхность z (x,y), ограничивающую тело W, на две части. Обозначим уравнения этих частей: z 1(x,y) и z 2(x,y) –соответственно.
Очевидно, что переменная z в пределах пространственной области W изменяется от своих значений на поверхности z 1(x,y) до значений на поверхности z 2(x,y). Если проводить прямые, параллельные оси Oz, то они будут входить в данную область на поверхности z 1(x,y) и выходить из нее на поверхности z 2(x,y).
Рис. 2.4.2 |
Далее, спроектируем крайние точки А и В плоской области D на ось Oх, получим отрезок [ α,b ], в пределах которого изменяется переменная x внутри W. И наконец, заметим, что точки А и В делят на две линию, ограничивающую область D. Пусть уравнения этих линий: y 1(x) и y 2(x).
Следовательно, переменная y в пространственной области W изменяется от своих значений на линии y 1(x) до значений на линии y 2(x).
Таким образом, тройной интеграл будет равен трехкратному линейному интегралу вида:
(2.4.3)
В формуле (2.4.3) внутренний интеграл берут по переменной z, при этом x и y считают постоянными. После его вычисления и подстановки пределов остаются две переменные x и y. Следующий интеграл вычисляют по переменной y – при условии, что х = const. После его вычисления остается одна переменная x, по которой берут последний внешний интеграл. Пределы внешнего интеграла постоянны. Рассмотрим несколько примеров связанных с вычислением тройных интегралов.
Пример 1. Расставить пределы в тройном интеграле:
если область W ограничена поверхностями:
z + y = 2; x = 0; x = 3; y = 0; z = 0.
Решение. Область расположение между тремя координатными плоскостями х = 0; у = 0; z = 0 и плоскостью х = 3.
Сверху W ограничена плоскостью z + y = 2, параллельной оси Ох
(рис. 2.4.3). Проекцией области W на координатную плоскость хОу является прямоугольник. Поэтому переменная х внутри W изменяется от 0 до 3, а у – от 0 до 2. Верхний предел для переменной z зависит от у. Значения этой переменной изменяется от 0 до значений на плоскостью z+ y = 2.
Таким образом, тройной интеграл будет равен трехкратному линейному интеграл с пределами
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение. У внутренних интегралов пределы переменные. Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной y, считая xпостоянным
Следующий интеграл берем по переменной z, при этом x = const
Осталась одна переменная x, вычисляем последний интеграл
Пример 3. Вычислить тройной интеграл , где область W ограничена координатными плоскостями: х = 0; y = 0; z = 0, и плоскостью x + y + z = 1.
Решение. Область W представляет собой тетраэдр, ограниченный сверху плоскость x + y + z = 1, которая пересекается с осями координат в точках х = 1; y = 1; z = 1 (Рис.2.4.4). Чтобы найти пределы изменения переменной z в области W, проведем пересекающие тетраэдр прямые, параллельные оси Oz. Эти прямые будут входить в тетраэдр на координатной плоскости z = 0, а выходить из него на плоскости x + y + z = 1.
Следовательно, значения переменной z внутри области W будут изменяться от 0 до z = 1 – x – y. Таким образом, верхний предел для z непостоянен и зависит от (x, y), т.е. от координат точки на плоскости xОy, через которую проходит пересекающая тетраэдр прямая (Рис 2.4.4.). Проекцией области W на плоскость xOy является треугольник, ограниченный осями координат Ox, Oy и прямой x + y = 1 (Рис.2.4.4). Если его спроектировать на ось Ox, то переменная x внутри треугольника будет изменятся от 0 до 1, а переменная y – от 0 до ее значений на прямой x + y = 1; y = 1 – x. В результате тройной интеграл сводится к трехкратному линейному вида:
Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной z, считая x и y постоянными
Аналогично найдем средний интеграл по y, считая постоянной x:
После вычисления среднего интеграла и подстановки пределов осталась одна переменная x. Последний внешний интеграл возьмем по этой переменной, при этом интеграл от логарифма найдем по частям:
Вычисляя последние два интеграла, окончательно получим:
В данном примере верхние пределы у внутреннего и среднего интегралов были переменными. Поэтому изменение порядка интегрирования привело бы к изменению пределов по каждой переменной.
Пример 4. Вычислить тройной интеграл, где область W ограничена двумя цилиндрическими поверхностями:
и плоскостями: x = –1; x = 2.
Решение. Цилиндрические поверхности параллельны оси Oх
(рис. 2.4.5). Найдем точки пересечения направляющих линий этих поверхностей из условия :
Проекцией области W на плоскость xOy является прямоугольник (Рис.2.4.5). Поэтому пределы изменения для переменных x и y внутри W постоянные:
–1 ≤ x ≤ 2; –1 ≤ y ≤ +1,
а переменная z будет изменяться от значений на поверхности до своих значений на . Данный тройной интеграл сводится к трехкратному линейному интегралу вида:
Рис. 2.4.5
Подставляя вместо z пределы и находя оставшиеся интегралы по переменным y и x получим:
Если область интегрирования W представляет собой параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям, то пределы интегрирования будут постоянными во всех трех интегралах. В этом случае интегрирование можно проводить в любом порядке, при этом пределы сохраняются.
Задачи для самостоятельного решения. По заданной области расставить пределы в интеграле .
Область w ограничена поверхностями
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. .
Вычислить тройной интеграл
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. .