2015-04-12
2986
1.6.1. Интегралы вида 
, где R – рациональная функция
Интегралы указанного вида приводят к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки 
. В результате этой подстановки имеем:
; 
; x = arctg t; 
.
Пример 1. Найти 
.
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:
=
= 
= 
=
= 
= 
= 
=
= 
Пример 2. Найти 
.
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:
= 
= 
=
= 
= 
= 
= 
=
Универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, т.к. при ее применении sin x и cos x выражаются через t в виде рациональных дробей, содержащих t 2.
В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида 
может быть упрощено.
1. Если R (sin x, cos x) – нечетная функция относительно sin x, т.е.
R (–sin x, cos x) = – R (sin x, cos x),
то подынтегральная функция сводится к рациональной с помощью подстановки:
cos x = t, sin x = 
, x = arccost, dx = 
. (1.6.1)
2. Если R (sin x, cos x) – нечетная функция относительно cos x, т.е.
R(sin x, –cos x) = –R(sin x, cos x),
то интеграл рационализируется подстановкой:
sin x = t, cos x = , x = arcsin t, dx = 
. (1.6.2)
3. Если R (sin x, cos x) – четная функция относительно sin x и cos x, т.е.
R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x),
то интеграл рационализируется подстановкой:
tg x = t, sin x = 
, cos x = 
, x = arctg t, dx = 
. (1.6.3)
Пример 3. Найти 
.
Решение. Заметим, что подынтегральная функция нечетная относительно sin x. Действительно 
. Тогда удобнее воспользоваться подстановкой (1) cos x = t; 
; 
= 
= 
Под знаком интеграла неправельная дробь, выделим целую часть.
| t 2 – 1 | t – 3 |
| t 2 – 3 t | t + 3 |
| 3 t – 1 | |
| 3 t – 9 | |
Тогда = 
= 
=
= 
.
Пример 4. Найти 
.
Решение. Заметим, что подынтегральная функция нечетная относительно cos x. Действительно 
. Тогда удобнее воспользоваться подстановкой (2)
sin x = t, cos x = , x = arcsin t, dx = .
= 
= 
=
= 
= 
= 
= 
=
Пример 5. Найти 
.
Решение. Подынтегральная функция четная относительно sin x и cos x. Действительно
=
= 
.
Тогда удобнее воспользоваться подстановкой (1.6.3)
tg x = t, sin x = , cos x = , x = arctg t, dx = .
= 
=
= 
= 
= 
=
1.6.2. Интегралы вида 
.
Выделим здесь два случая, имеющие особенно важное значение.
Случай 1. По крайней мере, один из показателей m или n – нечетное положительной число.
Если n – нечетное положительной число, то применяется подстановка sin x = t;
если m – нечетное положительное число, то применяется подстановка cos x = t.
Пример 6. Найти 
.
Решение. В нечетной степени cos x, значит используем подстановку
sin x = t.
= 
.
Пример 7. Найти 
.
Решение. В нечетной степени sin x, следовательно используем подстановку cos x = t.
= 
= 
=
= 
= 
=
= 
.
Случай 2. Оба показателя степени m и n – четные положительные числа. Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул понижения степени:
, (1.6.4)
, (1.6.5)
. (1.6.6)
Пример 8. Найти 
.
Решение. Из формулы (4) следует, что
= 
= 
.
Применив теперь формулу (5), получаем:
= 
= 
.
Итак,
= 
=
= 
= 
.
1.6.3. Интегралы вида 
и 
, где m – целое положительное число.
При нахождении таких интегралов применяются формулы
, 
,
с помощью которых последовательно понижается степень тангенса и котангенса.
Пример 9. Найти 
.
Решение.
= 
= =
= 
= 
=
= 
.
4. Интегралы вида 
, 
,
.
Тригонометрические формулы
, (1.6.7)
, (1.6.8)
. (1.6.9)
дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы или разности.
Пример 10. Найти 
.
Решение. Используя формулу (1.6.7), получим
= 
= 
=
= 
.
Пример 11. Найти 
.
Решение. Применим к произведению sin x × sin 2x формулу (1.6.9)
= 
=
= 
= 
.
Применим формулу (1.6.8):
= 
–
– 
=
= 
=
= 
.
Задачи для самостоятельного решения. Найти интегралы.
194. 
| 195. 
|
196. 
| 196. 
|
198. 
| 199. 
|
200. 
| 201. 
|
202. 
| 203. 
|
204.. 
| 205. 
|
206. 
| 207. 
|
208. 
| 209. 
|
210.. 
| 211. 
|
212. 
| 213. 
|
214. 
| 215. 
|
216. 
| 217. 
|
218. 
| 219. 
|
220. 
| 221. 
|
222. 
| 223. 
|
224. 
| 225.  
|
226. 
| 227. 
|
228. 
| 229. 
|
230. 
| 231. 
|
