2015-04-12
8015
· Основные определения
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
Матрицей системы называется матрица:
Столбцом свободных членов называется матрица-столбец:
Столбцом неизвестных называется матрица-столбец:
Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде: 
.
Расширенной матрицей системы называется матрица:
.
Существует три основных метода решения СЛАУ: Крамера, матричный и Гаусса.
· Метод Крамера
Метод Крамера применим, если определитель матрицы системы отличен от 0. Приведём формулы Крамера для СЛАУ третьего порядка
где
· Матричный метод
Матричный метод применим, если определитель матрицы системы отличен от 0.
Квадратная матрица 
называется обратной матрицей для матрицы A, если 
Если матрица СЛАУ имеет обратную , то решение системы определяется по формуле: 
.
Пусть 
– квадратная матрица второго порядка, тогда обратная матрица имеет вид: 
Пусть 
– квадратная матрица третьего порядка, тогда обратная матрица имеет вид: 
|
|
|
· Метод Гаусса
Метод Гаусса применим для любых СЛАУ и представляет собой последовательность эквивалентных преобразованиях расширенной матрицы системы.
Две расширенные матрицы системы называются эквивалентными, если соответствующие им СЛАУ равносильны.
Метод Гаусса использует три эквивалентных преобразования расширенных матриц, которые называются элементарными:
o перемена местами строк i и j (обозначение: 
);
o умножение всех элементов строки i на ненулевое число 
(обозначение: 
);
o прибавление ко всем элементам строки i соответствующих элементов строки j, умноженных на число (обозначение: 
);
Суть метода Гаусса заключается в приведении матрицы системы с помощью элементарных преобразований к верхнетреугольной матрице (прямой ход), а затем к диагональной (обратный ход).
Пример 1.3. Решить систему уравнений Ax = b, методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса, если A= 
, x = 
, b= 
.
▼
· Решим систему методом Крамера.
1. 
решение единственное.
2. 
3. 
4. 
, 
· Решим систему матричным методом.
1. решение единственное.
2. 
3. 
.
4. Из формулы получаем:
· Решим систему методом Гаусса.
1. Выпишем расширенную матрицу системы 
.
2. Прямой ход.
~ 
~ 
~
~ 
~ 
3.Обратный ход.
~ 
~ 
~
~ 
.
4.Ответ: 
▲
Пример 1.4. Решить систему уравнений Ax = b методом Гаусса, если A= 
, x = , b= 
.
▼
1. Выпишем расширенную матрицу системы 
.
2. Прямой ход.
~ 
~ 
Последняя строка, полученной после элементарных преобразований расширенной матрицы, соответствует уравнению 
, которое не имеет решений. Следовательно, система решений не имеет.
▲
Пример 1.5. Решить систему уравнений Ax = b методом Гаусса, если A= 
, x = , b= 
.
|
|
|
▼
1. Выпишем расширенную матрицу системы 
.
2. Прямой ход.
~ 
~ 
.
Нулевая строка может быть удалена из расширенной матрицы системы.
3. Обратный ход.
~ 
.
Полученная после элементарных преобразований расширенная матрица, соответствует системе:
Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.
▲
