Системы линейных алгебраических уравнений

2 3 4 5 6 7 8

· Основные определения

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

Матрицей системы называется матрица:

Столбцом свободных членов называется матрица-столбец:

Столбцом неизвестных называется матрица-столбец:

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде: .

Расширенной матрицей системы называется матрица:

Существует три основных метода решения СЛАУ: Крамера, матричный и Гаусса.

· Метод Крамера

Метод Крамера применим, если определитель матрицы системы отличен от 0. Приведём формулы Крамера для СЛАУ третьего порядка

где

· Матричный метод

Матричный метод применим, если определитель матрицы системы отличен от 0.

Квадратная матрица называется обратной матрицей для матрицы A, если

Если матрица СЛАУ имеет обратную , то решение системы определяется по формуле: .

Пусть – квадратная матрица второго порядка, тогда обратная матрица имеет вид:

Пусть – квадратная матрица третьего порядка, тогда обратная матрица имеет вид:

· Метод Гаусса

Метод Гаусса применим для любых СЛАУ и представляет собой последовательность эквивалентных преобразованиях расширенной матрицы системы.

Две расширенные матрицы системы называются эквивалентными, если соответствующие им СЛАУ равносильны.

Метод Гаусса использует три эквивалентных преобразования расширенных матриц, которые называются элементарными:

o перемена местами строк i и j (обозначение: );

o умножение всех элементов строки i на ненулевое число (обозначение: );

o прибавление ко всем элементам строки i соответствующих элементов строки j, умноженных на число (обозначение: );

Суть метода Гаусса заключается в приведении матрицы системы с помощью элементарных преобразований к верхнетреугольной матрице (прямой ход), а затем к диагональной (обратный ход).

Пример 1.3. Решить систему уравнений Ax = b, методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса, если A= , x = , b= .

▼

· Решим систему методом Крамера.

1. решение единственное.

4. ,

· Решим систему матричным методом.

1. решение единственное.

3. .

4. Из формулы получаем:

· Решим систему методом Гаусса.

1. Выпишем расширенную матрицу системы .

2. Прямой ход.

~ ~ ~

~ ~

3.Обратный ход.

~ ~ ~

~ .

4.Ответ:

▲

Пример 1.4. Решить систему уравнений Ax = b методом Гаусса, если A= , x = , b= .

▼

1. Выпишем расширенную матрицу системы .

2. Прямой ход.

~ ~

Последняя строка, полученной после элементарных преобразований расширенной матрицы, соответствует уравнению , которое не имеет решений. Следовательно, система решений не имеет.