Матрицы

· Основные определения

Определение 1.1. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел:

.

Каждый элемент матрицы имеет два индекса: i – номер строки и j – номер столбца.

ü Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой и обозначается O.

ü Матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице (), а все остальные элементы – нули, называется единичной и обозначается E.

ü Матрица, в которой n строк и n столбцов называется квадратной матрицей порядка n.

ü Квадратная матрица называется верхнетреугольной (нижнетреугольной), если все её элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали равны нулю.

· Операции над матрицами

Пусть

,

1. Сумма матриц осуществляется поэлементно:

.

2. Умножение матрицы на число осуществляется поэлементно:

.

3. Транспонирование матрицы осуществляется заменой строк столбцами:

.

4. Умножение матрицы строки на матрицу столбец осуществляется по формуле:

5. Умножение матрицы размера на матрицу размера осуществляется последовательным умножением строк первой матрицы на столбцы второй:

где

Пример 1.1. Пусть , , .

Найдите матричное выражение А^TВ +2A – 3С^T.

▼

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

▲

· Определители

ü Пусть – квадратная матрица второго порядка.

Определителем второго порядка матрицы A называется число:

ü Пусть – квадратная матрица третьего порядка.

Определителем третьего порядка матрицы A называется число:

где

· Пусть – квадратная матрица n -го порядка.

Определителем n-го порядка матрицы A называется число:

где - алгебраическое дополнение элемента .

– (минор элемента ) определитель порядка n–1 матрицы, полученной из матрицы A, вычёркиванием строки i и столбца j.

Пример 1.2. Найти определитель матрицы .

▼

1.Найдём алгебраические дополнения первой строки:

2. Вычисляем определитель

▲