Биномиальное распределение. Вернемся к схеме независимых испытаний и найдем закон распределения случайной величины Х – числа появлений события А в серии из п испытаний

Вернемся к схеме независимых испытаний и найдем закон распределения случайной величины Х – числа появлений события А в серии из п испытаний. Возможные значения А: 0, 1, …, п. Соответствующие им вероятности можно вычислить по формуле Бернулли:

(19.1)

(p – вероятность появления А в каждом испытании).

Такой закон распределения называют биномиальным, поскольку правую часть равенства (4.2) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Пример. Составим ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

р (Х =0) = 1·(0,2)⁵ = 0,00032;

р (Х= 1) = 5·0,8·(0,2)⁴ = 0,0064;

р (Х =2) = 10·(0,8)²·(0,2)³ = 0,0512;

р (Х =3) = 10·(0,8)³·(0,2)² = 0,2048;

р (Х =4) = 5·(0,8)⁴·0,2 = 0,4096; р (Х =5) = 1·(0,8)⁵ = 0,32768.

Таким образом, ряд распределения имеет вид:

Для рассматриваемой дискретной случайной величины Х (число появлений события А в серии из п независимых испытаний), М(Х) и D(X) можно вычислить их согласно определения (16.1), (17.2) или (17.3), используя ряд распределения Х.

Но можно поступить и иначе, применяя свойства математического ожидания и дисперсии. Пусть Х ₁ – число появлений А в первом испытании, Х ₂ – во втором и т.д. При этом каждая из случайных величин Х_i задается рядом распределения вида

Следовательно, М (Х_i) = p. Тогда

Аналогичным образом вычислим дисперсию: D (X_i) = 0²· q + 1²· p – p ² = p – p ² = p (1 – p), откуда по свойству 4 дисперсии