Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

(24.1)

где а и σ - параметры.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию (24.1).

1) Область определения этой функции: (-∞, +∞).

2) f (x) > 0 при любом х (следовательно, весь график расположен выше оси О х).

3) то есть ось О х служит горизонтальной асимптотой графика при

4) при х = а; при x > a, при x < a. Следовательно, - точка максимума.

5) F (x – a) = f (a – x), то есть график симметричен относительно прямой х = а.

6) при , то есть точки являются точками перегиба.

Для вычисления математического ожидания нормально распределенной случайной величины воспользуемся тем, что интеграл Пуассона .

(первое слагаемое равно 0, так как подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля).

.

Следовательно, параметры нормального распределения (а и σ) равны соответственно математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению данной случайной величины.

Примерный вид кривых Гаусса для различных значений параметров показан на рисунке

Найдем вид функции распределения для нормального закона:

(24.2)

Интеграл в (24.2) невозможно выразить через элементарные функции. Поэтому для вычисления значений F (x) приходится пользоваться таблицами. Они составлены для случая, когда а = 0, а σ = 1(нормированное распределение), то есть для функции

(24.3)

называемой функцией Лапласа.

Функцию распределения для нормально распределённой случайной величины при произвольных значениях параметров можно выразить через функцию Лапласа, если сделать замену: , тогда . (24.4)

А вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный интервал:

(24.5)

Замечание. Если используется затабулированная функция Лапласа вида , то следует учитывать, что .

Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а = 3, σ = 2. Найти вероятность того, что она примет значение из интервала (4, 8).

Решение.