2015-04-12
539
1) 0 ≤ F(x, y) ≤ 1 (так как F(x, y) является вероятностью).
2) F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу:
F(x2, y) ≥ F(x1, y), если x2 > x1;
F(x, y2) ≥ F(x, y1), если y2 > y1.
Доказательство. F(x2, y) = p(X < x2, Y < y) = p(X < x1, Y < y) + p(x1 ≤ X < x2, Y < y) ≥
≥ p(X < x1, Y < y) = F(x1, y). Аналогично доказывается и второе утверждение.
3) Имеют место предельные соотношения:
а) F(-∞, y) = 0; b) F(x, - ∞) = 0; c) F(- ∞, -∞) = 0; d) F(∞, ∞) = 1.
Доказательство. События а), b) и с) невозможны (так как невозможно событие Х<- ∞ или Y <- ∞), а событие d) достоверно, откуда следует справедливость приведенных равенств.
4) F(x, ∞) = F1(x). F(∞, y) = F2(y).
Доказательство. Так как событие Y < ∞ достоверно, то F(x, ∞) = р(Х < x) = F1(x). Аналогично доказывается второе утверждение.
Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения:
. (29.2)
Выражение 
можно трактовать как вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник с вершинами (х, у), (х+dx, у), (х+dx, у+dy),(х, у+dy)
|
|
|
Свойства двумерной плотности вероятности
1) f (x, y) ≥ 0
2) 
3) 
Вероятность попадания случайной точки в произвольную область D плоскости x0y:
(29.3)
