Неравенство треугольника

Неравенство Коши-Буняковского.

Скалярным произведением векторов х,у принадлеж. R ⁿ: x=(x₁,…,x_n), y=(y₁,…y_n) называется число (х,у)=

Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо неравенство

Доказательство:

Возьмем произвольное число t и составим вектор

Тогда

Легко заметить квадратный трехчлен, если =α, =β, а =γ, т.е.

Квадратный трехчлен при любом значении t неотрицателен, поскольку ≥0, следовательно, дискриминант данного трехчлена неположителен.

D= β²- α γ≤ 0, подставим обратно выражения в неравенство:

- ≤0, или , чтд.

Т.о., нер-во Коши-Буняковского равносильно неравенству

Неравенство треугольника.

Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо соотношение, называемое неравенством треугольника:

Доказательство:

В силу неравенства Коши-Буняковского, согласно которому ,

²+2 + ²=( + )²

Извлечем корень из обеих частей этого неравенства без потери знака, т.к. обе части заведомо положительны.

Получим: