Докажите что множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством. Как найти размерность этого пространства

Множество V называется линейным векторным пространством, если в нем определены операции сложения и умножения на число: а+b=b+a (коммутативности), (a+b)+c=a+(b+c) (aссoциативности), сущ-ет нулевой вектор, такой, что если его прибавить к исходному вектору, то получится исходный вектор a+0=a, наличие противоположного вектора в сумме с исходным дающий ноль-вектор а+(-а)=0, (a+b)=ka+kb(дистрибутивность), (k+l)a=ka+la, k(la)=(kl)a, 1a=a и подчиняющиеся 8 аксиомам.

Примерами лин. пространств могут служить арифметическое n-мерное векторное пространство Rⁿ, пространство решений произвольной однородной СЛАУ, множество многочленов степени не превышающей n. Например, линейным является пространство подмножества векторов х=(х₁,х₂,х₃,х₄) в R⁴, выделенное условием V={x€R⁴|x₁+x₂+x₃+x₄=0}.

18. Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Докажите, что 4 строки в R4 линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из этих строк, равен нулю.

Система векторов а₁, а₂ и а_m называется линейно зависимой, если существуют такие числа с₁, с₂, с_m (не равные нулю одновременно) и выполняется равенство:

с₁ā₁+с₂ā₂+...+с_mā_m =0.

Пример: дана система из 4 векторов в R⁵ . Выяснить, является ли эта система лин. завис.

а₁=(-1,3,3,2,5)

а₂=(-3,5,2,3,4)

а₃=(-3,1,-5,0,-7)

а₄=(-5,7,1,4,1)

Решение. Пишем уравнение х₁а₁+х₂а₂+х₃а₃+х₄а₄=0 или, в координатной записи,- систему ур-й:

-х₁-3х₂-3х₃-5х₄=0

3х₁+5х₂+ х₃+7х₄=0

3х₁+2х₂-5х₃+х₄=0

2х₁+3х₂ +4х₄=0

5х₁+4х₂-7х₃+х₄=0

Если эта система имеет только нулевое решение, то система исходных векторов лин независима. Если же имеются и ненулевые решения, то система лин завис. Решим систему ур методом Гаусса. Получилась система уравнений с базисными неизвестными х₁,х₂,х₄, и свободными неизвестным х₃. Наличие свободного неизвестного означает, что решений - бесконечное множество, значит, исходная система векторов линейно зависима.

19. Какие векторы называются коллинеарными? Докажите, что система, содержащая коллинеарные векторы, линейно зависима.

Два вектора а и b называются коллинеарными, если один из них выражается через другой ā = kb, k≠0.

Пусть дана система из 2-х векторов а и b. Если система линейно зависима, то один из векторов ā = kb. Т.е. эти 2 вектора являются коллинеарными.Таким образом, система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.

20. Дайте определение линейно независимой системы векторов. Докажите, что любая система векторов, содержащая пропорциональные векторы, линейно зависима.

Еслисистема векторов ā₁,ā₂,…,ā_m такова, что равенство с₁ā₁+с₂ā₂+...+с_mā_m =0возможно только при с₁=c₂=,..,=с₃=0, то эта система называется линейно независимой.

Пусть задана сист. из 3 векторов а₁,а₂,а₃ и причем часть системы, состоящая из двух векторов а₁ и а₂ лин. зависима, т. е. справедливо равенство

с₂а₂+с₃а₃=0, где с₂ или с₃ отличны от 0. добавим к обеим частям вектор 0=0а₁, получим равенство 0а₁+с₂а₂+с₃а₃=0, означающее лин. зависимость всей системы а₁, а₂, а₃.

Возьмем определитель матрицы СЛАУ второго порядка, раскроем его и приравняем к 0. После этого, перенося слагаемое с отрицательным знаком в правую часть и записав результат в виде пропорции, увидим, что коэффициенты в СЛАУ пропорциональны, следовательно, векторы, имеющие координатами эти коэффициенты (то есть а=(а₁₁, а₁₂) и а=(а₂₁, а₂₂)), линейно зависимы

Если выполняется равенство ā = kb, значит, векторы пропорциональные и коллинеарные. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.

Можно ли из линейно зависимой системы векторов выделить линейно независимую подсистему? Можно ли из линейно независимой системы векторов выделить линейно зависимую подсистему? Приведите примеры. Ответы обоснуйте.

Система, включающая вектор 0, линейно зависима.

Если среди векторов системы имеется нулевой вектор, то вся система линейно независима.

Если система { а₁,a₂…,a_s } линейно независима, но при добавле­нии к ней еще одного вектора а становится линейно зависимой, то вектор а линейно выражается через а₁,a₂…,a_s

Доказательство. По условию справедливо равенство вида

c₁a₁+c₂a₂+…+c_sa_s+са=0, где не все числа с₁,c₂,…c_s равны нулю. Нетрудно видеть, что именно с ¹0. В противном случае мы получили бы равенство c₁a₁+c₂a₂+…+c_sa_s = 0,

означающее линейную зависимость системы а₁,a₂…,a_s. Пользуясь тем, что с не=0, можно из равенства

(c₁a₁+c₂a₂+…+c_sa_s+са=0) выра­зить а через векторы а₁,a₂…,a_s.-

22. Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Является ли линейно зависимой система векторов, если она содержит линейно зависимую подсистему?

Система векторов а₁, а₂ и а_m называется линейно зависимой, если существуют такие числа с₁, с₂, с_m (не равные нулю одновременно) и выполняется равенство:

с₁ā₁+с₂ā₂+...+с_mā_m =0.

Система векторов является линейно зависимой, если она содержит линейно зависимую подсистему согласно свойству линейно зависимых систем векторов: Если часть системы ЛЗ, то и вся система ЛЗ.

Доказательство. Пусть дана система из 3-х векторов ā₁,ā₂,ā₃, причем часть системы, состоящая из 2-х векто­ров ā₁,ā₂, ЛЗ, т.е. справедливо равенство с₂ ā₂+с₃ ā₃ =0, где с₂ или с₃≠0. Добавив к обеим частям вектор 0=0ā₁,Þ0ā₁ + с₂ā₂+с₃ā₃ =0, т.е. означает ЛЗ всей системы ā₁,ā₂,ā₃

23. Дайте определение линейно независимой системы векторов. Докажите, что 3 ненулевые строки ступенчатой матрицы порядка 3 х 5 линейно независимы.

Еслисистема векторов ā₁,ā₂,…,ā_m такова, что равенство с₁ā₁+с₂ā₂+...+с_mā_m =0возможно только при с₁=c₂=,..,=с₃=0, то эта система называется линейно независимой.

Докажем, что любая ступенчатая система векторов линейно независима. Рассмотрим 3 ненулевые строки ступенчатой матрицы порядка 3 х 5.

k₁ā+k₂b+k₃ĉ+…=Ô

k₁a₁+k₂0+k₃0+…=0

k₁a₂+k₂b₂+k₃0+…=0

………………….

a₁,b₂,c₃,…≠0

след-но, k₁=k₂=…=0, в силу произвольности коэффициентов k данная сист. линейно независима.

24. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств, отличных от арифметических пространств Rⁿ.

Опр. Линейное пространство - это множество элементов, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Примеры линейных пространств:

1) пространство Rⁿ;

2) множество решений однородной системы линейных уравнений;

3) множество функций, определенных на отрезке [a;b], с заданными для них обычным образом операциями сложения и умножения на число;

4) множество положительных чисел, если операцию сложения двух элементов x и y определить как их произведение (понимаемое в обычном смысле), а операцию умножения х на действительное число k - как возведение x в степень k;

5) множество всех многочленов с заданными для них стандартным образом операциями сложения и умножения на число;

6) множество всех многочленов, степень которых не превышает n.