Св-ва линейного п/п

1) Линейное п/п L линейного пр-ва V само является линейным пространством относительно операции сложения и умножения числа, определенное в V.

Док-во. Т.к. L непустое, то∃x ∈ L.Т.к. L –лин п/п, то ∀λ∈ ℝ: λx∈L

a) λ=0 0*x= θ∈L

b) λx∈L:-x=(-1)x∈L=>λ=-1

Аксиомы 5-8 выполняются и в V, и в L

2) Любое линейное п/п n-мерного пространства конечномерно и его разность не превосходит n. иначе: если dim V=n, то dim L ≤ n

Док-во: Т.к. dim V=n, L<V, то ∀ n+1 элементы ∈ L –линейно зависимы=> L –конечномерно и dim L≤n

3) Линейное п/п L конечномерного пространства V совпадает со всем пространством тогда и только тогда, когда dim V=dim L

Док-во: а) L<V(все пр-во само линейное п/п)

dim L=dim V

б) Пусть dim V=n, L –линейное п/п V и dim L=n

Т.к. dim L=n, то в L ∃ базис (e₁, …, e_n).Поскольку L<V, то (e₁, …, e_n) ∈V dim V=n, то (e₁, …, e_n) – базис V =>∀x ∈V ∃α¹, …, α^n, что x= ∈L => L=V

Определение линейной оболочки системы векторов.