V – линейное пространство и - линейное подпространство пространства V.
Определение 9: Пересечением линейных подпространств и
называется множество всех элементов, которые принадлежат этим подпространствам одновременно:
Суммой + линейных подпространств и называется множество всех элементов пространства V вида , где .
+ ,
Теорема 10: Сумма и пересечение линейных подпространств являются сами подпространствами.
Доказательство: 1) Рассмотрим сумму
+ ,
+ λ :
+
=> + - линейное подпространство.
2) Рассмотрим пересечение
;
- линейное подпространство.
Определение: Сумма + называется прямой суммой, если .
Обозначение: - прямая сумма подпространств и .
Теорема: Каждый элемент представляется в виде , где единственным способом.
Доказательство: Пусть прямая сумма , и , , =
= { } , т.е. = и =
Теорема: Линейное (конечномерное) пространство V является прямой суммой подпространств и (т.е.V = ) тогда и только тогда, когда:
1) dim V=dim +dim и 2) (без доказательства)
|
|