2015-04-12
1654
V – линейное пространство 
и 
- линейное подпространство пространства V.
Определение 9: Пересечением 
линейных подпространств и
называется множество всех элементов, которые принадлежат этим подпространствам одновременно: 
Суммой + линейных подпространств и называется множество всех элементов пространства V вида 
, где 
.
+ 
, 
Теорема 10: Сумма и пересечение линейных подпространств являются сами подпространствами.
Доказательство: 1) Рассмотрим сумму
+ ,
+ λ 
: 
+ 
=> 
+ - линейное подпространство.
2) Рассмотрим пересечение
; 
- линейное подпространство.
Определение: Сумма + называется прямой суммой, если 
.
Обозначение: 
- прямая сумма подпространств и .
Теорема: Каждый элемент 
представляется в виде , где 
единственным способом.
Доказательство: Пусть прямая сумма 
, и 
, 
, = 
= { 
} 
, т.е. 
= 
и 
= 
Теорема: Линейное (конечномерное) пространство V является прямой суммой подпространств 
и (т.е.V = 
) тогда и только тогда, когда:
1) dim V=dim 
+dim 
и 2) 
(без доказательства)
