Опр. Система элементов x1,…,xm лин. пр-ва V наз-ся линейно зависимой, если ∃ λ1,…, λm ∈ ℝ (|λ1|+…+| λm| ≠ 0) такие, что λ1 x1 +…+ λmxm = θ.
Опр. Система элементов x1,…,xm ∈ V наз-ся линейно независимой, если из равенства λ1 x1 +…+ λmxm = θ ⟹λ1 =…= λm =0.
Опр. Элемент x ∈ V наз-ся линейной комбинацией элементов x1,…,xm ∈ V, если ∃ λ1,…, λm ∈ ℝ такие, что x= λ1 x1 +…+ λmxm.
Теорема (критерий линейной зависимости): Система векторов x1,…,xm ∈ V линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы линейно выражается через остальные.
Док-во. Необходимость: Пусть x1,…,xm - линейно зависимы ⟹ ∃ λ1,…, λm ∈ ℝ (|λ1|+…+| λm| ≠ 0) такие, что λ1 x1 +…+ λm-1xm-1 + λmxm = θ. Допустим, λm ≠ 0, тогда
xm = (- ) x1 +…+ (- ) xm-1.
Достаточность: Пусть хотя бы один из векторов линейно выражается через остальные вектора: xm = λ1 x1 +…+ λm-1xm-1 (λ1,…, λm-1 ∈ ℝ) λ1 x1 +…+ λm-1xm-1 +(-1) xm =0 λm =(-1) ≠ 0 ⟹ x1,…,xm - линейно независимы.
Дост. условие линейной зависимости:
|
|
Если система содержит нулевой элемент или линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима.
λ1 x1 +…+ λmxm = 0 – линейно зависимая система
1) Пусть x1 = θ, тогда это равенство справедливо при λ1 =1 и λ1 =…= λm =0.
2) Пусть λ1 x1 +…+ λmxm =0 – линейно зависимая подсистема ⟹|λ1|+…+| λm| ≠ 0. Тогда при λ1 =0 также получаем, |λ1|+…+| λm| ≠ 0 ⟹ λ1 x1 +…+ λmxm =0 – линейно зависимая система.
Базис линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Координаты сумм векторов и произведения вектора на число. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.
Определение: Упорядоченная система элементов e1, …, en линейного пространства V называется базисом этого пространства если:
А) e1…еn линейно независимы
Б) ∀ x ∈ α1… αn такие, что x= α1 e1+…+ αn еn
x= α1e1+…+ αnen – разложение элемента x в базисе e1, …, en
α1… αn ∈ ℝ – координаты элемента x в базисе e1, …, en
Теорема: Если в линейном пространстве V задан базис e1, …, en то ∀ x ∈ V столбец координат x в базисе e1, …, en определяется однозначно (координаты определяются однозначно)
Доказательство: Пусть x=α1e1+…+ αnen и x=β1e1+…+βnen
x= ⇔ = Θ, т. е. e1, …, en — линейно независимы, то - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n ч. т. д.
Теорема: пусть e1, …, en — базис линейного пространства V; x, y – произвольные элементы пространства V, λ ∈ ℝ — произвольное число. При сложении x и y их координаты складываются, при умножении x на λ координаты x так же умножаются на λ.
Доказательство: x= (e1, …, en) и y= (e1, …, en)
x+y= + = (e1, …, en)
λx= λ ) = (e1, …, en)
|
|
Лемма1: (необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов)
Пусть e1…еn — базис пространства V. Система элементов f1, …, fk ∈ V является линейно зависимой тогда и только тогда, когда линейно зависимы столбцы координат этих элементов в базисе e1, …, en
Доказательство: разложим f1, …, fk по базису e1, …, en
fm=(e1, …, en) m=1, …, k
λ1f1+…+λkfk=(e1, …, en)[ λ1 +…+ λn ] то есть λ1f1+…+λkfk= Θ ⇔
⇔ λ1 +…+ λn = что и требовалось доказать.
13. Размерность линейного пространства. Теорема о связи размерности и базиса.
Определение: Линейное пространство V называют n-мерным пространством, если в V существуют n линейно независимых элементов, а система из любых n+1 элементов пространства V линейно зависима. В этом случае n называется размерностью линейного пространства V и обозначается dimV=n.
Линейное пространство называют бесконечномерным, если ∀N ∈ ℕ в пространстве V существует линейно независимая система содержащая N элементов.
Теорема: 1) Если V – n-мерное линейное пространство, то любая упорядоченная система из n линейно независимых элементов этого пространства образует базис. 2)Если в линейном пространстве V существует базис состоящий из n элементов, то размерность V равна n (dimV=n).
Доказательство: 1) Пусть dimV=n ⇒ в V ∃ n линейно независимых элементов e1,…,en. Докажем, что эти элементы образуют базис, то есть докажем что ∀ x ∈ V может быть разложен по e1,…,en. Присоединим к ним x: e1,…,en, x – эта система содержит n+1 вектор а значит она линейно зависима. Поскольку e1,…,en – линейно независима, то по теореме 2 x линейно выражается через e1,…,en т.е. ∃ ,…, такие, что x= α1 e1+…+ αn еn. Итак e1,…,en – базис пространства V. 2)Пусть e1,…,en – базис V, итак в V ∃ n линейно независимых элементов. Возьмем произвольные f1,…,fn,fn+1 ∈ V – n+1 элементов. Покажем их линейную зависимость. Разложим их по базису:
fm=(e1,…,en) = где m = 1,…,n Составим матрицу из столбцов координат: A= Матрица содержит n строк ⇒ RgA≤n. Число столбцов n+1 > n ≥ RgA ⇒ Столбцы матрицы A (т.е. стобцы координат f1,…,fn,fn+1 ) – линейно зависимы. Из леммы 1 ⇒,…,fn,fn+1 – линейно зависимы ⇒ dimV=n.
Следствие: Если какой-либо базис содержит n элементов, то и любой другой базис этого пространства содержит n элементов.
Теорема 2: Если система векторов x1,…,xm-1, xm – линейно зависима, а ее подсистема x1,…,xm-1 – линейно независима, то xm - линейно выражается через x1,…,xm-1
Доказательство: Т.к. x1,…,xm-1, xm – линейно зависима, то ∃ , …, , ,
, …, | , | такие, что . Если , , …, | => x1,…,xm-1 – линейно независимы, чего быть не может. Значит m = (- ) x1 +…+ (- ) xm-1.