2015-04-17
904
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
.
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке 
может быть представлено в виде:
, где 
– некоторое действительное число и 
.
Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в точке существовала конечная производная 
. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке. Если функция в некоторой точке имеет производную, то она непрерывна в этой точке. Обратное верно не всегда, т. е. из непрерывности функции в точке еще не следует ее дифференцируемость в этой точке.
Функция 
называется дифференцируемой на 
, если она дифференцируема в любой точке 
.
Дифференциалом функции называется величина 
, являющаяся главным (линейным) членом приращения функции в точке и обозначается 
:
.
В частности, если 
, то 
, и, следовательно, 
, т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой. Поэтому дифференциал функции в точке можно представить в виде
.
Тогда приращение функции можно записать в виде 
.
Видно, что дифференциал функции в точке отличается от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем 
при 
.
